Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die ein einzelnes Additiv mit einer Variablen zweiten Grades enthält und eine Parabel auf einer Koordinatenebene darstellt. Das Erlernen der Wurzeln einer quadratischen Gleichung ist eine der wichtigsten Aufgaben der Algebra. Es findet seine Anwendung in verschiedenen Bereichen von Wissenschaft und Technologie.
Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung ist eine Zahl, mit der Sie die Anzahl und die Werte der Wurzeln bestimmen können. Wenn der Diskriminant positiv ist, hat die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln. Für den Fall, dass die Diskriminante Null ist, hat die Gleichung eine einzelne Wurzel, die als Vielfaches bezeichnet wird.
Die Wurzel einer quadratischen Gleichung bei einem Diskriminanten von Null kann mit dem Vieth-Satz gefunden werden, der die Koeffizienten der Gleichung und ihre Wurzeln verbindet. Wenn die Gleichung die Form ax^2 + bx + c = 0 hat, besagt das Vieth-Theorem, dass die Summe der Wurzeln -b/ a ist und das Produkt der Wurzeln c/a ist.
Was sind die Wurzeln einer quadratischen Gleichung?
Sie können die Diskriminanzformel – D = b^2 - 4ac verwenden, um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden. Der Wert des Diskriminanten ermöglicht es Ihnen, den Wurzeltyp und die Anzahl der Wurzeln zu bestimmen:
- Wenn D > 0 ist, hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln.
- Wenn D = 0 ist, hat die Gleichung eine reelle Wurzel, die zweimal ein Vielfaches ist.
- Wenn D < 0 ist, hat die Gleichung zwei komplexe Wurzeln.
Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung können positiv oder negativ sein, abhängig von den Werten der Koeffizienten und der Form der Gleichung. Die Kenntnis der Wurzeln einer quadratischen Gleichung ist wichtig für die Lösung verschiedener mathematischer Probleme und die Anwendung im wirklichen Leben.
Die quadratische Gleichung und ihre Struktur
Struktur der quadratischen Gleichung:
- Der Koeffizient ist a, der der Koeffizient beim Quadrat einer Variablen ist.
- Ein Faktor von b, der mit einer Variablen multipliziert wird.
- Ein Koeffizient von c, der einen freien Member darstellt, der keine Variable enthält.
Eine quadratische Gleichung kann je nach dem Wert des Diskriminanten, der durch die Formel D = b^2 - 4ac berechnet wird, eine unterschiedliche Anzahl von Lösungen haben. Wenn der Diskriminant größer als Null ist, hat die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln. Wenn der Diskriminant Null ist, hat die Gleichung eine Wurzel. Wenn der Diskriminant kleiner als Null ist, hat die Gleichung keine gültigen Wurzeln.
Der Diskriminant und seine Bedeutung in der quadratischen Gleichung
Der Wert des Diskriminanten kann positiv, negativ oder Null sein und weist auf die Merkmale der Wurzeln einer quadratischen Gleichung hin:
- Wenn D > 0 ist, hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln;
- Wenn D < 0 ist, hat die Gleichung keine reellen Wurzeln, nur komplexe;
- Wenn D = 0 ist, hat die Gleichung eine reelle Wurzel, wobei diese Wurzel zweifach ist.
Wenn Sie die Bedeutung eines Diskriminanten kennen, können Sie die Art der Lösungen einer quadratischen Gleichung vorhersagen, bevor sie tatsächlich berechnet wird. Dies erleichtert das Lösen von Gleichungen und vermeidet unnötige Berechnungen, wenn bekannt ist, dass die Wurzeln fehlen oder komplex sind.
Wann ist die Diskriminanz Null?
- Wenn eine quadratische Gleichung die Form ax^2 + bx + c = 0 hat, sind a, b und c Koeffizienten;
- Wenn die Diskriminante D = b^2 - 4ac Null ist;
- Wenn eine quadratische Gleichung eine einzige Wurzel hat, dh sie hat die Form (x - p)^2 = 0, wobei p eine reelle Zahl ist.
In diesem Fall wird die Lösung einer solchen Gleichung die Form x = p haben, wobei p eine reelle Zahl ist.
Wenn die Diskriminante Null ist, bedeutet dies, dass die Gleichung eine Wurzel mit einer Multiplizität von 2 hat, dh diese Wurzel ist eine doppelte Wurzel. Dieses Phänomen tritt auf, wenn tatsächlich zwei Gleichungswurzeln zu einer verschmelzen. Dies kann bei der Lösung praktischer Probleme oder in mathematischen Modellen nützlich sein, bei denen jeder Wert nur einmal abgerufen werden muss.
Fälle, in denen die Diskriminanz Null ist
Für eine quadratische Gleichung im Allgemeinen ax^2 + bx + c = 0. die Diskriminanz wird durch die Formel berechnet:
Wenn der Diskriminant Null ist, hat die Gleichung eine Wurzel. Dies geschieht in zwei Fällen:
1. Wenn sich der Scheitelpunkt der Parabel auf der Achse der Abszisse befindet.
Wenn der Scheitelpunkt der durch die quadratische Gleichung beschriebenen Parabel auf der Achse der Abszisse liegt, bedeutet dies, dass die Gleichung eine einzige Wurzel hat, die mit der Koordinate des Scheitelpunkts übereinstimmt. In diesem Fall kann die Gleichung, wenn die Diskriminante Null ist, als dargestellt werden: ax^2 + bx = 0.
2. Wenn beide Gleichungswurzeln übereinstimmen.
Wenn die Diskriminante Null ist und auf der Achse der Abszisse kein Scheitelpunkt vorhanden ist, bedeutet dies, dass die Gleichung zwei Wurzeln hat, die übereinstimmen. In diesem Fall kann die Gleichung als dargestellt werden: x = -b/2a.
Die Fälle, in denen die Diskriminante Null ist, entsprechen also Situationen, in denen eine quadratische Gleichung nur eine Wurzel hat oder beide Wurzeln übereinstimmen. In diesen Fällen ermöglichen es uns die speziellen Eigenschaften der Gleichung, die Lösung zu vereinfachen und die spezifischen Werte der Wurzeln zu erhalten.
Beispiele für die Lösung einer quadratischen Gleichung mit einem Nulldiskriminanten
Wenn die Diskriminante der quadratischen Gleichung Null ist, bedeutet dies, dass die Gleichung genau eine Wurzel hat. Die Formel zur Berechnung des Diskriminanten einer quadratischen Gleichung lautet wie folgt:
Sie können die folgenden Schritte verwenden, um die Wurzel einer quadratischen Gleichung bei einem Nulldiskriminanten zu finden:
- Wir öffnen Klammern und geben ähnliche Begriffe in der Gleichung an.
- Wir lösen die resultierende lineare Gleichung bx + c = 0 relativ x.
- Der resultierende Wert x ist die einzige Wurzel der quadratischen Gleichung.
Betrachten wir einige Beispiele für die Lösung quadratischer Gleichungen mit Nulldiskriminanz:
- x^2 + 4x + 4 = 0
- In diesem Fall erhalten wir nach dem Öffnen der Klammern und der Umwandlung ähnlicher Elemente eine Gleichung x^2 + 4x + 4 = 0. Es ist bereits in kanonischer Form. Als nächstes lösen wir die resultierende lineare Gleichung 4x + 4 = 0 relativ x. Indem wir 4 von beiden Teilen der Gleichung subtrahieren, erhalten wir 4x = -4. Wir teilen beide Teile der Gleichung durch 4, was zu einer Lösung führt x = -1. Die Wurzel der quadratischen Gleichung ist also -1.
- 2x^2 - 6x + 4 = 0
- In diesem Fall öffnen wir auch Klammern und geben ähnliche Mitglieder an. Wir erhalten die Gleichung 2x^2 - 6x + 4 = 0. Wir lösen die resultierende lineare Gleichung -6x + 4 = 0 relativ x. Aus der Gleichung drücken wir aus x in Form von x = 4/6 = 2/3. Die Wurzel der quadratischen Gleichung ist also 2/3.
- 3x^2 - 6x + 3 = 0
- In Analogie zu den vorherigen Beispielen öffnen wir Klammern und geben ähnliche Mitglieder an. Wir erhalten die Gleichung 3x^2 - 6x + 3 = 0. Dann lösen wir die resultierende lineare Gleichung -6x + 3 = 0 relativ x. Aus der Gleichung drücken wir aus x in Form von x = 3/6 = 1/2. Die Wurzel der quadratischen Gleichung ist also 1/2.
Die Lösung einer quadratischen Gleichung mit einem Diskriminanten von Null kommt daher darauf an, den Wert der Variablen zu finden x vorausgesetzt, dass die linken und rechten Teile der Gleichung gleich sind.
Grafische Darstellung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung
Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung können grafisch auf einer Koordinatenebene dargestellt werden. Um dies zu tun, müssen Sie einen Graphen der durch die quadratische Gleichung gegebenen Funktion erstellen.
Wenn die Diskriminante der Gleichung Null ist, hat die Gleichung eine Wurzel. Der Funktionsdiagramm stellt eine parallele OX-Achse dar, die eine gerade Linie darstellt, die die OX-Achse am Punkt der Wurzel der Gleichung berührt.
Wenn die Diskriminante der Gleichung größer als Null ist, hat die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln. Das Diagramm der Funktion wird eine Parabel darstellen, die die OX-Achse an zwei Punkten schneidet - den Wurzeln der Gleichung.
Wenn die Diskriminante der Gleichung kleiner als Null ist, hat die Gleichung keine gültigen Wurzeln. Das Funktionsdiagramm schneidet die OX-Achse nicht.
Die grafische Darstellung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung hilft Ihnen, die Lösungen einer Gleichung visuell darzustellen und leichter zu verstehen, wie viele Wurzeln eine Gleichung hat und wie sie sich auf der Koordinatenebene befinden.
