Die Übertragungsfunktion ist ein Schlüsselbegriff in der Theorie von Signalen und Systemen. Es ermöglicht Ihnen, die Beziehung zwischen Ein- und Ausgangssignalen in einem linearen System zu beschreiben. Eine Möglichkeit, diese Beziehung zu visualisieren, besteht darin, den Amplituden-Frequenzgang zu konstruieren.
Die Amplituden-Frequenz-Charakteristik ist ein Diagramm der Abhängigkeit der Amplitude des Ausgangssignals von der Frequenz des Eingangssignals bei einer konstanten Phase. Dieses Diagramm ist ein wichtiges Werkzeug bei der Analyse und Gestaltung von Systemen. In der Grafik können Sie Parameter wie Bandbreite, Verzögerungsbandbreite, Unterdrückungsgrad usw. definieren.
Um den Frequenzgang über die Übertragungsfunktion zu konstruieren, sind Kenntnisse und ein Verständnis der grundlegenden Konzepte der Signaltheorie erforderlich. Zunächst müssen Sie die Übertragungsfunktion des Systems definieren, die als das Verhältnis von zwei Polynomen dargestellt werden kann, wobei der Zähler die Übertragungsfaktoren im Zähler ist und der Nenner die Übertragungsfaktoren im Nenner ist.
Was ist Frequenzgang
Der Frequenzgang kann als Diagramm oder als logarithmisches Diagramm dargestellt werden, wobei die Signalfrequenz entlang der horizontalen Achse und die Signalamplitude entlang der vertikalen Achse verschoben wird. Der Frequenzgang wird normalerweise in Dezibel (dB) in Bezug auf einen Referenzpegel dargestellt. Sie können den Wert der Amplitude eines Signals bei bestimmten Frequenzen im Frequenzgangdiagramm bestimmen und die Spitzen, Dips und Bandbreiten hervorheben, die den Filter oder das Gerät charakterisieren.
Der Frequenzgang ermöglicht es Ihnen, eine Vorstellung davon zu bekommen, wie das Gerät oder System auf verschiedene Signalfrequenzen reagiert. Beispielsweise kann der Frequenzgang zeigen, dass das Gerät Signale mit niedrigeren Frequenzen mit einer höheren Amplitude sendet als Signale mit hohen Frequenzen. Oder umgekehrt, dass das Gerät Signale bei bestimmten Frequenzen unterdrückt. Der Frequenzgang kann auch verwendet werden, um die Qualität der Signalübertragung zu bewerten, Geräte zu konfigurieren oder die optimalen Parameter von Filtern oder Verstärkern auszuwählen.
Übertragungsfunktion und Frequenzgang
Der Amplituden-Frequenzgang ist eine grafische Darstellung der Abhängigkeit der Amplitude des Ausgangssignals von der Frequenz des Eingangssignals. Es ist eines der wichtigsten Merkmale eines linearen Systems und ermöglicht es Ihnen, seine Fähigkeit zu beurteilen, Signale verschiedener Frequenzen ohne Verzerrung zu übertragen.
Das Konstruieren des Frequenzganges über eine Übersetzungsfunktion kann mit numerischen Methoden oder grafischen Darstellungen wie logarithmischen Bode-Diagrammen oder Bode-Diagrammen durchgeführt werden. Sie ermöglichen es Ihnen, das System visuell zu analysieren und seine grundlegenden Eigenschaften wie Bandbreite, Latenzband, Spitzenwerte und Betriebsarten zu bestimmen.
Die Definition des Frequenzganges ermöglicht es Ingenieuren und Forschern, die Systemleistung basierend auf dem Eingangssignal zu bewerten, was ihnen hilft, Entscheidungen über die Verwendung oder Verbesserung des Systems zu treffen. Der Aufbau der Übertragungsfrequenz ist eine der wichtigsten Aufgaben im Bereich der Analyse und Synthese von Steuerungs-, Elektronik- und Telekommunikationssystemen.
Definition der Übertragungsfunktion
Die Übertragungsfunktion wird durch das Symbol H (s) gekennzeichnet, wobei s die Laplasvariable ist, die den Frequenzgang des Systems bestimmt.
Beispiel für eine Übersetzungsfunktion:
- H(s) = 1 / (s + 1) ist eine Übertragungsfunktion für das einfachste System erster Ordnung.
- H(s) = (s + 2) / (s^2 + 3s + 2) ist eine Übertragungsfunktion für ein System zweiter Ordnung.
Die Übertragungsfunktion kann als Bruch zweier Polynome dargestellt werden, wobei der Zähler den Einfluss des Eingangssignals auf den Ausgang bestimmt und der Nenner den Einfluss externer Störungen und den Einfluss des vorherigen Systemzustands bestimmt.
Wenn Sie die Übertragungsfunktion kennen, können Sie verschiedene Systemeigenschaften wie Stabilität, Amplituden-Frequenz- und Phasenfrequenzeigenschaften bestimmen.
Was ist der Frequenzgang?
Der Frequenzgang wird verwendet, um die spektralen Eigenschaften von physikalischen Objekten oder Systemen zu visualisieren. Es kann für die Analyse und Synthese von Kommunikationssystemen, die Analyse der akustischen Eigenschaften von Audiogeräten, die Gestaltung von HF-Filtern usw. verwendet werden.
Im Frequenzgangdiagramm werden die Amplituden normalerweise vertikal und die Frequenzen horizontal angezeigt. Die Spitzenpunkte im Diagramm zeigen die Amplitudenwerte des Signals bei den entsprechenden Frequenzen an. Somit gibt der Frequenzgang eine Vorstellung davon, welchen Teil der Amplitudenwerte des Eingangssignals das System bei verschiedenen Frequenzen durchlässt.
Der Frequenzgang kann als mathematische Funktion entwickelt und dargestellt werden, die die Abhängigkeit der Amplitude von der Frequenz beschreibt. Es kann auch experimentell mit Hilfe von Messgeräten und technischen Mitteln hergestellt werden.
Die Kenntnis des Frequenzganges ermöglicht es Ihnen, die Funktionsweise von Informations- und Filtersystemen besser zu verstehen und zu bewerten und ihre Parameter zu optimieren, um die gewünschten Ergebnisse zu erzielen.
Schritte zum Erstellen der Frequenzgang
1. Definieren Sie die Übertragungsfunktion: Finden Sie heraus, welche Funktion die Signalübertragung durch Ihr System beschreibt. Dies kann eine lineare Gleichung, eine Differentialgleichung oder eine andere Art von Funktion sein.
2. Finden Sie den Frequenzgang: Transformieren Sie die Übertragungsfunktion mit der Laplace- oder Fourier-Transformation, um den Frequenzgang des Systems zu finden. Der Frequenzgang zeigt an, wie das System auf die verschiedenen Frequenzen des Eingangssignals reagiert.
3. Drücken Sie den Frequenzgang als Grafik aus: Verwenden Sie die resultierenden Werte des Frequenzcharakters, um die Amplituden-Frequenz-Charakteristik (Frequenzgang) zu zeichnen. Das Diagramm zeigt, wie sich die Amplitude des Signals je nach Frequenz ändert.
4. Bestimmen Sie die Grenzfrequenz: Suchen Sie nach der Frequenz, bei der die Signalamplitude im Vergleich zum Ausgangswert um -3 dB abnimmt. Diese Frequenz wird als Cutoff-Frequenz bezeichnet und ist ein wichtiger Parameter für die Bewertung der Systemleistung.
5. Analysieren Sie das Systemverhalten: Untersuchen Sie das Frequenzgangdiagramm, um andere Systemeigenschaften wie Bandbreite, Dämpfungsband und Phasencharakteristik zu bestimmen. Diese Eigenschaften helfen Ihnen zu verstehen, wie das System die verschiedenen Frequenzen und Phasen eines Signals verarbeitet.
6. Verwenden Sie die erhaltenen Daten: Verwenden Sie die resultierenden Werte und Grafiken, um die Systemleistung zu bewerten und zu verbessern. Eine Änderung der Übertragungsfunktion oder anderer Systemparameter kann zu gewünschten Änderungen im Verhalten des Systems führen.
Beispiel für die Berechnung der Frequenzgang
Angenommen, wir haben eine Laplace-Übersetzungsfunktion, die als dargestellt wird:
wobei K, a, b und c Konstanten sind.
Um die Amplituden-Frequenz-Charakteristik des Systems zu konstruieren, müssen Sie den absoluten Wert der Laplace-Übertragungsfunktion finden und anstelle von s die komplexen-signifikanten Frequenzen durch jω ersetzen.
Der Frequenzgang kann wie folgt gefunden werden:
- Berechnen Sie den Koeffizienten K. Sie können dazu ein Schwingungsdekrement oder eine Amplitude bei mittlerer Frequenz verwenden.
- Ersetzen Sie die Frequenzwerte jω anstelle von c in der Laplace-Übertragungsfunktion.
- Berechnen Sie das Übertragungsfunktionsmodul und erhalten Sie die Amplituden bei voreingestellten Frequenzen.
- Zeichnen Sie ein Frequenzgangdiagramm, in dem die Frequenzen entlang der Abszissenachse und entlang der Ordinatenachse die Amplituden verschoben werden.
Zum Beispiel, wenn ein System mit einer Übertragungsfunktion eingestellt ist:
ein Frequenzgangdiagramm kann wie folgt erstellt werden:
1. Finde den Koeffizienten K. Für einfache Berechnungen können Sie die Amplitude bei mittlerer Frequenz verwenden (z. B. bei ω = 1 Rad / s):
Also K = √40.
2. Ersetzen Sie die Frequenzwerte von jω anstelle von s:
3. Wir nehmen das Übertragungsfunktionsmodul:
4. Wir erstellen ein Diagramm, in dem die Frequenzen entlang der Abszissenachse und entlang der Ordinatenachse die Amplituden verschoben werden:
