Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax^2 + bx + c = 0, wobei a, b und c Koeffizienten sind, wobei a ≠ 0 ist. Wie finde ich die Wurzeln solcher Gleichungen, wenn der Diskriminant Null ist? Ein Diskriminant ist ein Wert, der durch die Formel D = b^2 - 4ac berechnet wird, wobei b und c die Koeffizienten der quadratischen Gleichung sind.
Wenn die Diskriminante Null ist (D = 0), hat die Gleichung eine einzige Wurzel. Um diese Wurzel zu finden, müssen Sie die Formel x = -b / (2a) verwenden. Das heißt, um die Wurzel einer quadratischen Gleichung zu finden, müssen wir den negativen Wert des Koeffizienten b durch den doppelten Wert des Koeffizienten a teilen.
Betrachten Sie zum Beispiel die quadratische Gleichung x^2 - 6x + 9 = 0. Zuerst berechnen wir die Diskriminanz. D = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0. Da die Diskriminante Null ist, hat die Gleichung eine Wurzel. Mit der Formel x = -b / (2a) können wir diese Wurzel finden: x = -(-6) / (2(1)) = 6 / 2 = 3. Die Wurzel dieser quadratischen Gleichung ist also 3.
Wie finde ich die Wurzel einer quadratischen Gleichung mit einem Nulldiskriminanten?
Um die Wurzel einer quadratischen Gleichung mit einem Nulldiskriminanten zu finden, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:
| Schritt | Handlung |
|---|---|
| Schritt 1 | Schreiben Sie die quadratische Gleichung in Standardform auf: ax^2 + bx + c = 0 |
| Schritt 2 | Bestimmen Sie die Koeffizientenwerte a, b und c |
| Schritt 3 | Berechnen Sie die Diskriminanz anhand der Formel: D = b^2 - 4ac |
| Schritt 4 | Wenn die Diskriminanz Null ist (D = 0), dann hat die Gleichung eine einzige Wurzel. |
| Schritt 5 | Finde die Wurzel der quadratischen Gleichung anhand der Formel: x = -b / 2a |
Die gefundene Wurzel ist die einzige Lösung für eine quadratische Gleichung mit einem Nulldiskriminanten.
Was ist eine quadratische Gleichung und eine Diskriminante?
Ein Diskriminant ist ein durch die Formel D = b 2 - 4ac berechneter Wert, der die Art der Lösungen einer quadratischen Gleichung bestimmt. Der Diskriminant macht es möglich zu verstehen, wie viele Wurzeln eine Gleichung hat und welche sie sind: real oder komplex.
Wenn die Diskriminante Null ist (D = 0), hat die Gleichung eine einzige Wurzel. Diese Wurzel wird als doppelte oder vielfache Wurzel bezeichnet. Eine doppelte Wurzel bedeutet, dass die Gleichung nur eine Lösung mit einer Multiplizität von 2 hat.
Um die Wurzel einer quadratischen Gleichung mit einem Nulldiskriminanten zu finden, muss eine Lösungsformel verwendet werden: x = -b / 2a. In diesem Fall ist die einzige Wurzel der Gleichung gleich dem Verhältnis des entgegengesetzten Koeffizienten b zum zweifachen Produkt des Koeffizienten a.
Quadratische Gleichungen mit einem Nulldiskriminanten sind Sonderfälle, in denen eine einzelne Wurzel mit einer Multiplizität von 2 eine wichtige Rolle bei der Lösung mathematischer Probleme und in angewandten Bereichen spielt.
Bedingung: Die Diskriminanz ist Null
Führen Sie die folgenden Schritte aus, um die Wurzel einer quadratischen Gleichung zu finden, wenn die Diskriminante Null ist:
- Finde die Koeffizienten der quadratischen Gleichung.
- Berechnen Sie den Diskriminanten mit der Formel: D = b2 - 4ac, wobei a, b und c die Koeffizienten der Gleichung ax2 + bx + c = 0 sind.
- Wenn der Diskriminant Null ist, hat die Gleichung eine Wurzel.
- Finde die Wurzel der Gleichung mit der Formel: x = -b / (2a), wobei x die Wurzel der Gleichung ist.
Betrachten wir ein Beispiel. Lassen Sie uns die quadratische Gleichung 2x2 + 4x + 2 = 0 haben.
| Koeffizient a | Verhältnis B | Koeffizient c | Diskriminante D | Wurzel x |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 2 | 4 - 4 * 2 * 2 = 4 - 16 = -12 | -4 / (2 * 2) = -4 / 4 = -1 |
Die quadratische Gleichung 2x2 + 4x + 2 = 0 hat also eine Wurzel von x = -1, vorausgesetzt, die Diskriminante ist Null.
Aktionen zum Finden von Wurzeln
Wenn die Diskriminante der quadratischen Gleichung Null ist, hat die Gleichung eine gültige Wurzel. Führen Sie die folgenden Schritte aus, um diesen Stamm zu finden:
- Berechnen Sie den Diskriminanzwert anhand der Formel: D = b 2 - 4ac. In diesem Fall, da der Diskriminant Null ist, erhalten Sie eine Gleichung D = 0.
- Vereinfachen Sie die resultierende Gleichung und finden Sie den Wert einer der Wurzeln anhand der Formel: x = -b / (2a).
Auf diese Weise können Sie die einzige Wurzel einer quadratischen Gleichung mit einem Nulldiskriminanten finden. Beachten Sie, dass in diesem Fall das Diagramm der Gleichung eine horizontale Gerade ist, die durch diese Wurzel verläuft.
Beispiele für das Finden von Null-Diskriminanten-Wurzeln
Wenn der Diskriminant Null ist, hat die Gleichung eine Wurzel. Um diese Wurzel zu finden, müssen Sie die folgende Formel verwenden: x = -b / (2a).
Im Folgenden finden Sie Beispiele für das Finden von Null-Diskriminanten-Wurzeln:
- Beispiel 1: Die Gleichung ist gegeben: x^2 - 6x + 9 = 0. Die Koeffizienten sind: a = 1, b = -6, c = 9. Die Diskriminanz ist Null: D = (-6)^2 - 4 * 1 * 9 = 0. Wurzel der Gleichung: x = -(-6) / (2 * 1) = 6 / 2 = 3. Die Antwort: die Wurzel der Gleichung x^2 - 6x + 9 = 0 ist gleich 3.
- Beispiel 2: Die Gleichung ist gegeben: 4x^2 - 16x + 16 = 0. Die Koeffizienten sind: a = 4, b = -16, c = 16. Die Diskriminanz ist Null: D = (-16)^2 - 4 * 4 * 16 = 0. Wurzel der Gleichung: x = -(-16) / (2 * 4) = 16 / 8 = 2. Antwort: Die Wurzel der Gleichung 4x^2 - 16x + 16 = 0 ist gleich 2.
- Beispiel 3: Die Gleichung wird angegeben: x^2 + 8x + 16 = 0. Die Koeffizienten sind: a = 1, b = 8, c = 16. Diskriminante ist Null: D = 8^2 - 4 * 1 * 16 = 0. Wurzel der Gleichung: x = -8 / (2 * 1) = -8 / 2 = -4. Antwort: Die Wurzel der Gleichung x^2 + 8x + 16 = 0 ist -4.
