Die Funktion y = x2 - 6x + 13 ist eine quadratische Gleichung mit einer Variablen. Um zu verstehen, was der Wertebereich dieser Funktion ist, wenn x zu einem Intervall gehört [2; 7] Sie müssen das Verhalten der Funktion in diesem Intervall analysieren.
Betrachten wir zunächst die obere Grenze des Intervalls - die Zahl 7. Ersetzen wir diesen Wert in die Gleichung und führen die Berechnungen durch:
y = (7)² - 6(7) + 13 = 49 - 42 + 13 = 20
Bei x = 7 ist der Funktionswert also 20. Lassen Sie uns ähnliche Berechnungen für die untere Grenze des Intervalls - Nummer 2 - durchführen:
y = (2)² - 6(2) + 13 = 4 - 12 + 13 = 5
Intervall der Funktionswerte y = x2 - 6x + 13
Zuerst finden wir die oberen und unteren Grenzen des Intervalls. Offensichtlich sind x = 2 und x = 7 diese Grenzen.
Nun ersetzen wir diese Werte in den Funktionsausdruck und finden die entsprechenden y-Werte:
Für x = 2: y = 22 - 6·2 + 13 = 4 - 12 + 13 = 5
Für x = 7: y = 72 - 6·7 + 13 = 49 - 42 + 13 = 20
Daher ist das Intervall der Funktionswerte y = x2 - 6x + 13 bei x aus dem Intervall [2; 7] liegt zwischen 5 und 20.
Funktionswert an den Enden des Intervalls
Beginnen wir am linken Rand des Intervalls. Ersetzen Sie x = 2:
Daher ist der Funktionswert am linken Ende des Intervalls 5.
Wiederholen Sie den Vorgang für die rechte Grenze des Intervalls. Ersetzen Sie x = 7:
Daher ist der Wert der Funktion am rechten Ende des Intervalls 20.
Als Ergebnis erhalten wir also, dass es an den Grenzen des Intervalls liegt [2; 7] die Funktion nimmt die Werte 5 bzw. 20 an.
Funktion Extreme
Um die Extrema einer Funktion zu finden, müssen Sie die x-Koordinate des Scheitelpunkts der Parabel finden.
Mit der Formel x = -b / (2a) können Sie diese Koordinate finden.
Indem wir die Koeffizienten a = 1, b = -6 in der Formel ersetzen, erhalten wir x = -(-6) / (2*1) = 3.
Das Extremum der Funktion ist also bei x = 3.
Monotonie der Funktion innerhalb des Intervalls
Um dies zu tun, finden wir die Ableitung der Funktion: y' = 2x - 6. Um die kritischen Punkte zu finden, gleichsetzen wir die Ableitung auf Null und lösen die Gleichung: 2x - 6 = 0. Aus dieser Gleichung erhalten wir x = 3.
| Intervall | Ableitung | Monotonie |
|---|---|---|
| (-∞; 2) | Negative | Nachläßt |
| (2; 3) | Positive | Steigt |
| (3; 7) | Positive | Steigt |
| (7; +∞) | Positive | Steigt |
Schnittpunkt der Ordinatachse
Die Ordinatachse (y-Achse) ist eine vertikale Linie auf der Koordinatenebene, entlang der der Funktionswert verschoben wird.
Der Schnittpunkt der Ordinatenachse wird durch den Funktionswert bei x = 0 bestimmt.
Um den Wert der Funktion bei x = 0 zu berechnen, ersetzen wir diesen Wert in den ursprünglichen Ausdruck:
y = 0² - 6 * 0 + 13 = 0 - 0 + 13 = 13
Somit schneidet die Funktion die Achse des Ordinats an einem Punkt (0, 13). Dies bedeutet, dass bei x = 0 der Funktionswert 13 ist.
Asymptoten der Funktion
Zuerst finden wir die horizontale Asymptote der Funktion. Die horizontale Asymptote wird durch die Funktionsgrenze bei x definiert, die nach Unendlichkeit strebt. In diesem Fall ist die Grenze unendlich, da der Ausdruck x2 - 6x + 13 auch nach Unendlichkeit tendiert, wenn x nach Unendlichkeit strebt.
Der nächste Schritt besteht darin, die vertikalen Asymptoten der Funktion zu finden. Die vertikale Asymptote wird durch die Werte bestimmt, bei denen eine Funktion Brüche aufweisen kann. In diesem Fall hat die Funktion y = x2 - 6x + 13 keine vertikalen Asymptoten, da sowohl der rechte als auch der linke Teil des Ausdrucks kontinuierliche Funktionen sind.
Daher hat die Funktion y = x2 - 6x + 13 keine vertikalen Asymptoten, sondern eine horizontale Asymptote, die eine gerade y = +∞ ist.
Untersuchung auf Ausbuchtung und Konkavität
Zuerst finden wir die Ableitung der Funktion: y' = 2x - 6. Lösen wir die Gleichung y' = 0, um den Extrempunkt der Funktion zu finden. Wir erhalten x = 3.
Ersetzen wir den gefundenen Punkt x = 3 in die zweite Ableitung der Funktion: y " = 2. Das zweite Ableitungszeichen bestimmt das Verhalten der Funktion.
- Wenn" > 0" ist, wird die Funktion nach oben konvex und hat ein Minimum am Extrempunkt.
- Wenn" < 0" ist, wird die Funktion nach oben konkav sein und am Extrempunkt ein Maximum haben.
- Wenn y = 0 ist, ist die Funktion flach.
In unserem Fall ist y" = 2 > 0, daher ist die Funktion nach oben konvex und hat ein Minimum an x = 3.
Also bei x-Werten aus dem Intervall [2; 7] die Funktion y = x2 - 6x + 13 wird zunehmen und ihr Minimum an x = 3 haben.
