Lokales Maximum und lokales Minimum sind wichtige Konzepte in der Mathematik. Wenn wir über eine Funktion sprechen, möchten wir wissen, wo sie ihren größten Wert (das lokale Maximum) oder den kleinsten Wert (das lokale Minimum) in einem bestimmten Bereich erreicht. In diesem Artikel werden wir uns die Definition und Beispiele für das lokale Maximum und das lokale Minimum ansehen.
Das lokale Maximum ist der Punkt im Funktionsdiagramm, an dem die Funktion ihren höchsten Wert in einer bestimmten Umgebung dieses Punktes erreicht. Mit anderen Worten, dies ist ein Punkt, an dem der Funktionswert an allen umliegenden Punkten größer ist als der Funktionswert.
Das lokale Minimum ist der Punkt im Funktionsdiagramm, an dem die Funktion ihren kleinsten Wert in einer Nachbarschaft dieses Punktes erreicht. Analog ist dies ein Punkt, bei dem der Funktionswert kleiner ist als der der Funktion an allen umgebenden Punkten.
Um das lokale Maximum oder Minimum einer Funktion zu finden, müssen wir die abgeleiteten Funktionen analysieren. Wenn die Ableitung am Punkt x Null ist, kann dies das lokale Maximum oder Minimum der Funktion sein. Eine Null-Ableitung ist jedoch keine ausreichende Bedingung, um zu behaupten, dass dies ein Extrempunkt ist. Dies wird auch von den Werten der Ableitung vor und nach diesem Punkt beeinflusst.
Bestimmen des lokalen Maximums und des lokalen Minimums
Das lokale Maximum ist der Punkt, an dem die Funktion innerhalb einer bestimmten Nachbarschaft eines bestimmten Punktes den höchsten Wert erreicht. Die Nachbarschaft kann als Intervall, offene Menge oder geschlossene Menge definiert werden. Ein lokales Maximum kann nur innerhalb der angegebenen Nachbarschaft ein Maximum sein, ist jedoch nicht unbedingt ein absolutes Maximum im gesamten Funktionsdefinitionsbereich. Wenn der Wert einer Funktion nach dem lokalen Maximum abnimmt, sagen wir, dass die Funktion eine "Spitze" oder "Rutsche" bildet.
Das lokale Minimum ist der Punkt, an dem eine Funktion den kleinsten Wert innerhalb einer bestimmten Nachbarschaft eines bestimmten Punktes erreicht. Ähnlich wie bei einem lokalen Maximum kann ein lokales Minimum nur innerhalb einer angegebenen Nachbarschaft ein Minimum sein, ist jedoch nicht unbedingt ein absolutes Minimum im gesamten Bereich der Funktionsdefinition. Wenn der Wert einer Funktion nach einem lokalen Minimum ansteigt, sagen wir, dass die Funktion eine "Grube" oder einen "Tropfen" bildet.
Mit anderen Worten, das lokale Maximum und das lokale Minimum sind Funktionswerte, die innerhalb der angegebenen Nachbarschaft extrem sind, aber nicht unbedingt im gesamten Funktionsdiagramm extrem sind. Sie helfen uns, das Verhalten einer Funktion und eines Punktes mit einer Änderung des abgeleiteten Zeichens zu bestimmen.
Betrachten Sie zum Beispiel die Funktion f(x) = x^2 - 2x + 1. Sie hat ein lokales Minimum an einem Punkt (1, 0) und ein lokales Maximum an einem Punkt (1, 0). Dies bedeutet, dass die Werte der Funktion in der Nachbarschaft dieser Punkte am kleinsten bzw. am größten sind, aber sie sind nicht das absolute Minimum oder Maximum im gesamten Funktionsdiagramm.
Grundsätze für die Arbeit mit lokalen Extremen
Es müssen mehrere Prinzipien befolgt werden, um lokale Funktionsextreme zu bestimmen. Zuerst müssen Sie alle kritischen Punkte einer Funktion finden, dh die Punkte, an denen ihre Ableitung Null ist oder nicht existiert. Dazu können Sie eine Farmregel oder eine komplexe Funktionsdifferenzierungsregel verwenden.
Nachdem Sie die kritischen Punkte identifiziert haben, müssen Sie sie mit der zweiten abgeleiteten Funktion analysieren. Wenn die zweite Ableitung an diesem Punkt größer als Null ist, ist dies das lokale Minimum. Wenn die zweite Ableitung kleiner als Null ist, wird dies das lokale Maximum sein. Wenn die zweite Ableitung Null ist oder nicht vorhanden ist, wird die Analyse mithilfe der kritischen Punktumgebungen durchgeführt.
Einige Funktionen haben möglicherweise mehrere lokale Extreme oder haben sie überhaupt nicht. In solchen Fällen müssen Sie das Verhalten einer Funktion in ihrem gesamten Definitionsbereich berücksichtigen oder andere Methoden wie die Methode des goldenen Schnitts verwenden, um globale Extreme zu definieren.
Beispiele für ein lokales Maximum
Betrachten Sie einige Beispiele für ein lokales Maximum:
Beispiel 1:
Die Funktion f(x) = x^2 hat ein lokales Maximum bei x = 0. In der Nachbarschaft dieses Punktes ist der Wert der Funktion 0 und kann nicht mehr größer sein.
Beispiel 2:
Die Funktion g(x) = sin(x) hat lokale Höchstwerte an den Punkten x = π/2 + 2πk, wobei k eine Ganzzahl ist. In der Nachbarschaft jedes dieser Punkte erreicht der Funktionswert einen maximalen Wert von 1.
Beispiel 3:
Die Funktion h(x) = -x^2 hat ein lokales Maximum bei x = 0. In der Nachbarschaft dieses Punktes ist der Wert der Funktion 0 und kann nicht mehr größer sein, da die Funktion in beide Richtungen abnimmt.
Alle diese Beispiele zeigen, dass das lokale Maximum nicht unbedingt das globale Maximum einer Funktion ist, sondern nur der Wert, den die Funktion in einer bestimmten Umgebung eines bestimmten Punktes erreicht.
Beispiel 1
Betrachten Sie die Funktion f(x) = x^2 im Intervall [-2, 2].
Um die lokalen Höhen und Tiefen einer Funktion zu finden, finden Sie zuerst ihre Ableitung:
Um die Punkte zu finden, an denen die Ableitung Null ist, lösen wir die Gleichung f'(x) = 0:
Also haben wir bekommen, dass die einzige Kandidatur für das lokale Maximum und Minimum unserer Funktion der Punkt ist x = 0.
Um herauszufinden, ob dieser Punkt ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum ist, verwenden wir die zweite Ableitung:
Da die zweite Ableitung für alle positiv ist x, dann Punkt x = 0 ist das lokale Minimum der Funktion f(x) = x^2.
Beispiel 2
Um lokale Hochs und Tiefs zu finden, finden wir die erste Ableitung der Funktion f'(x):
Um die Extrempunkte zu finden, lösen wir die Gleichung f'(x) = 0:
Schreiben wir die vollständige quadratische Gleichung auf:
Daher erhalten wir einen Punkt des Extremums x = 3.
Jetzt finden wir die zweite Ableitung der Funktion f"(x):
Ersetzen wir den Punkt x = 3 in die zweite Ableitung:
f''(3) = 6 * 3 - 12 = 6.
Da f"(3) > 0 ist, ist der Punkt x = 3 das lokale Minimum der Funktion.
| x | f(x) |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 2 | -19 |
| 3 | -1 |
| 5 | 61 |
Daher hat die Funktion f(x) = x3 - 6x2 + 9x + 1 ein lokales Minimum bei x = 3 und der Funktionswert f(3) = -1.
Beispiele für ein lokales Minimum:
2. Die Funktion f(x) = sin(x) hat eine unendliche Anzahl lokaler Minima. Zum Beispiel erreicht die Funktion bei einem Wert von x = pi/2 ein lokales Minimum von -1. Bei anderen x-Werten kann die Funktion jedoch höhere Werte erreichen.
3. Die Funktion f(x) = -x^3 hat am Punkt x = 0 ein striktes globales Minimum. In der Umgebung dieses Punktes erreicht die Funktion ein lokales Minimum von Null. Bei entfernteren x-Werten wird der Funktionswert jedoch immer negativer.
Beispiel 1
Betrachten Sie die Funktion f(x) = x^2 - 6x + 8 im Intervall [0, 5].
Um lokale Hochs und Tiefs zu finden, müssen Sie Punkte finden, an denen die Funktionsableitung Null ist oder nicht existiert. Mit der Differenzierungsregel für Funktionen der Form f (x) = x ^ n, wobei n eine beliebige reelle Zahl ist, finden wir die Ableitung dieser Funktion:
Wir finden die x-Werte, bei denen f'(x) = 0 ist:
Der gefundene Punkt x = 3 ist ein Kandidat für ein lokales Maximum oder Minimum.
Berechnen wir die zweite Ableitung der Funktion:
Da f"(x) > 0 für alle x ist, bedeutet dies, dass der Punkt x = 3 das lokale Minimum der Funktion im angegebenen Intervall ist.
Also im Intervall [0, 5] die Funktion f(x) = x^2 − 6x + 8 hat das einzige lokale Minimum am Punkt x = 3.
Beispiel 2
Betrachten wir die folgende Funktion:
f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1.
Ich werde beweisen, dass der Punkt x = 2 das lokale Minimum dieser Funktion ist. Um dies zu tun, finden wir eine Ableitung:
- f'(x) = 3x^2 - 12x + 9.
Jetzt finden wir die zweite Ableitung, um ihren Charakter herauszufinden:
- f''(x) = 6x - 12.
Ersetzen Sie x = 2 in die zweite Ableitung:
f''(2) = 6 * 2 - 12 = 0.
Wie Sie sehen können, ist die zweite Ableitung Null, was darauf hindeutet, dass wir einen Wendepunkt haben. Das heißt, eine Funktion ändert ihren Charakter in einen anderen. In diesem Fall ändert es seinen Charakter von absteigend zu aufsteigend.
Jetzt finden wir den Wert von f(x) am Punkt x = 2:
f(2) = 2^3 - 6 * 2^2 + 9 * 2 + 1 = 8 - 24 + 18 + 1 = 3.
Aus den resultierenden Werten können wir schließen, dass der Punkt x = 2 das lokale Minimum der Funktion f (x) ist.
