Es gibt eine große Anzahl interessanter Fragen in der Mathematik, die Zahlen, ihre Eigenschaften und Beziehungen betreffen. Eine solche Frage ist, wie viele gewöhnliche, korrekte, nicht reduzierbare Brüche mit einem gegebenen Nenner existieren. In diesem Artikel betrachten wir diese Frage für einen Nenner von 17.236 und stellen eine Antwort darauf sowie eine Formel bereit, mit der Sie die Anzahl solcher Brüche berechnen können.
Lassen Sie uns zunächst herausfinden, was ein gewöhnlicher richtiger, nicht reduzierbarer Bruch ist. Ein gewöhnlicher Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler kleiner ist als der Nenner. Ein richtiger Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler kleiner ist als der Nenner. Ein nicht reduzierbarer Bruch ist ein Bruch, bei dem Zähler und Nenner außer einer Einheit keine gemeinsamen Teiler haben.
Lassen Sie uns zur Hauptaufgabe übergehen - die Berechnung der Anzahl der gewöhnlichen korrekten, nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 17.236. Dafür gibt es eine spezielle Formel. Wir bezeichnen die Anzahl solcher Brüche als phi (17 236). Dann kann der phi (17.236) mit der Euler-Phi-Formel berechnet werden:
Gewöhnliche korrekte, nicht reduzierbare Brüche
Ein richtiger Bruch ist ein Bruch, bei dem der Zähler kleiner ist als der Nenner.
Ein nicht reduzierbarer Bruch ist ein Bruch, bei dem Zähler und Nenner außer 1 keine gemeinsamen Teiler haben.
Daher ist ein gewöhnlicher korrekter, nicht reduzierbarer Bruch ein Bruch, bei dem der Zähler kleiner als der Nenner ist und der Zähler und der Nenner keine gemeinsamen Teiler haben, außer 1.
Sie können die Euler-Formel verwenden, um die Anzahl der normalen korrekten, nicht reduzierbaren Brüche mit einem Nenner zu finden:
Wenn eine natürliche Zahl n angegeben ist, ist die Anzahl der normalen korrekten, nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner n gleich:
φ(n) = n * (1 - 1/p1) * (1 - 1/p2) * . * (1 - 1/pk),
wobei φ(n) die Eulerfunktion ist, p1, p2, . pk sind einfache Teiler der Zahl n.
Sie können die Euler-Formel verwenden, um die Anzahl der normalen korrekten, nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 17 236 zu ermitteln, indem Sie den Wert n = 17 236 ersetzen:
φ(17 236) = 17 236 * (1 - 1/2) * (1 - 1/7) * (1 - 1/13) = 17 236 * 1/2 * 6/7 * 12/13 = 8 618
Es gibt also 8.618 gewöhnliche, korrekte, nicht reduzierbare Brüche mit einem Nenner von 17.236.
Nenner 17 236
Die Formel zur Bestimmung der Anzahl der gewöhnlichen korrekten, nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner N (in diesem Fall N = 17.236) lautet wie folgt:
Anzahl der Brüche = φ(N)
Hier bezeichnet φ(N) den Wert der Euler-Funktion von der Zahl N, die als die Anzahl der Zahlen von 1 bis N-1 definiert ist, die sich gegenseitig mit N vergleichen.
Um also die Anzahl der gewöhnlichen korrekten, nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 17.236 zu finden, ist es notwendig, den Wert der Euler-Funktion von dieser Zahl zu berechnen.
Die Formel für die Euler-Funktion lautet wie folgt:
φ(N) = N * (1 - 1/p1) * (1 - 1/p2) * . * (1 - 1/pn)
Wobei p1, p2, . pn sind Primzahlen, durch die N teilbar ist.
Daher müssen Sie die Zahl 17.236 in Primfaktoren zerlegen und die Anzahl der Zahlen berechnen, die sich gegenseitig mit ihr teilen.
Ein solches Problem kann mit einem schnellen Errichtungs-Algorithmus und einem Eratosthenen-Gitteralgorithmus gelöst werden.
Formel zur Berechnung der Anzahl der Brüche
Die Anzahl der gewöhnlichen korrekten, nicht reduzierbaren Brüche mit einem gegebenen Nenner kann mit der Euler-Phil-Formel berechnet werden.
Diese Formel lautet wie folgt:
ϕ ( p - 1 ) p ( q - 1 ) q γ p - p γ γ ( q - p q γ ) ( q - 1 )
- ϕ - die Anzahl der vergleichbaren Zahlen mit p im Bereich von 1 bis p - 1
- p ist der Nenner des Bruches
- q - Wert der Euler-Phil-Funktion von p - 1
- γ - Funktion des Mobius von p - 1
Diese Formel ermöglicht es Ihnen, die Anzahl der normalen korrekten, nicht reduzierbaren Brüche mit einem bestimmten Nenner genau zu berechnen.
Die Antwort auf die Frage
Es gibt eine Euler-Funktion, mit der Sie die Anzahl der gewöhnlichen korrekten, nicht reduzierbaren Brüche mit einem bestimmten Nenner finden können. Die Formel für diese Funktion lautet wie folgt:
Euler-Funktion: φ(n) = n * (1 - 1/p1) * (1 - 1/p2) * . * (1 - 1/pk),
wobei n der Nenner des Bruches ist, p1, p2, . pk sind alle einfachen Teiler der Zahl n.
In diesem Fall ist der Nenner 17.236. Um die Anzahl der gewöhnlichen korrekten, nicht reduzierbaren Brüche mit einem solchen Nenner zu finden, müssen Sie die Anzahl der Zahlen finden, die von 17.236 zueinander einfach sind.
Die einfachen Teiler der Zahl 17 236 sind 2, 7 und 617. Wir ersetzen die Werte in der Euler-Funktionsformel:
φ(17 236) = 17 236 * (1 - 1/2) * (1 - 1/7) * (1 - 1/617) = 17 236 * (1 - 1/2) * (1 - 1/7) * (1 - 1/617) ≈ 4 120
Somit beträgt die Anzahl der gewöhnlichen korrekten, nicht reduzierbaren Brüche mit dem Nenner 17.236 ungefähr 4.120.
