Der Aufbau einer Verteilungsfunktion ist ein wichtiger Schritt bei der Analyse diskreter Zufallsvariablen. Es ermöglicht Ihnen, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass ein Zufallswert einen bestimmten Wert annimmt oder in ein bestimmtes Intervall fällt. Aber wie genau wird diese Funktion aufgebaut? In diesem Artikel werden wir diesen Prozess Schritt für Schritt durchgehen und eine einfache Erklärung für Anfänger bereitstellen.
Lassen Sie uns zunächst daran erinnern, was eine diskrete Zufallsvariable ist. Dies ist ein Zufallswert, der nur eine bestimmte Anzahl von Werten annehmen kann. Zum Beispiel kann die Anzahl der gefallenen Adler beim Werfen einer Münze 0, 1 oder 2 betragen.
Um eine Verteilungsfunktion zu konstruieren, müssen wir die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass eine Zufallsvariable jeden möglichen Wert annimmt. Um dies zu tun, müssen Sie die Wahrscheinlichkeiten jedes der Zufallsvariablen kennen. Bezeichnen wir einen Zufallswert als X, und seine möglichen Werte werden als x1, x2, x3 usw. bezeichnet.
Die Verteilungsfunktion würde wie folgt aussehen: F(x) = P(X ≤ x), wobei F(x) die Verteilungsfunktion ist und P(X ≤ x) die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Zufallsvariable X einen Wert kleiner oder gleich x annimmt. Dabei hat die Verteilungsfunktion folgende Eigenschaften: Sie bricht monoton ab, ihre Werte liegen im Bereich von 0 bis 1 und F (-∞) = 0 und F(+∞) = 1.
Wie konstruiere ich eine Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsgröße
Die Funktion zur Verteilung der diskreten Zufallsvariablen (FRDSV) ermöglicht es Ihnen, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass jeder Wert dieses Wertes auftritt. Der Prozess des Aufbaus von FRDSV umfasst mehrere Schritte, die im Folgenden behandelt werden.
Schritt 1: Ermitteln von Zufallswertwerten
Zuerst müssen Sie alle möglichen Werte einer Zufallsvariablen ermitteln. Wenn wir beispielsweise einen Würfelwurf in Betracht ziehen, sind die möglichen Zufallswerte die Zahlen 1 bis 6.
Schritt 2: Bestimmen der Wahrscheinlichkeit jedes Werts
Als nächstes müssen Sie die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass jeder Zufallswert auftritt. Dies kann durch Analyse früherer Daten oder basierend auf probabilistischen Verteilungen erfolgen. Die Wahrscheinlichkeiten müssen positiv sein und in Summe gleich eins sein.
Schritt 3: Sortieren von Werten und Wahrscheinlichkeiten
Im nächsten Schritt sortieren Sie die Werte der Zufallsvariablen in aufsteigender Reihenfolge und die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Dadurch können wir die Verteilungsfunktion leichter visualisieren.
Schritt 4: Berechnung der kumulativen Wahrscheinlichkeiten
Als nächstes müssen Sie die Wahrscheinlichkeiten vom ersten Zufallswert bis zu jedem nachfolgenden Wert summieren. Dies ermöglicht es uns, die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Wertes zu bestimmen, der kleiner oder gleich einem bestimmten Wert ist.
Schritt 5: Erstellen einer Verteilungsfunktion
Schließlich ist es möglich, mit sortierten Werten und kumulativen Wahrscheinlichkeiten ein Diagramm der Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsgröße zu erstellen. Die Linie des Diagramms bewegt sich von einem Wert zum anderen, und die Werte im Diagramm entsprechen den Wahrscheinlichkeiten jedes Zufallswerts.
Anhand dieser fünf Schritte können Sie daher eine Verteilungs-Funktion für diskrete Zufallsvariablen erstellen und die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Werte dieses Wertes visualisieren. Dieser Prozess ist ein wichtiges Instrument zur Analyse und zum Verständnis zufälliger Phänomene und kann in einer Vielzahl von Bereichen von Statistik bis Finanzen verwendet werden.
Definition und Funktionsweise
Das Funktionsprinzip einer diskreten Zufallsvariablen-Verteilungsfunktion besteht darin, dass sie die Wahrscheinlichkeit bestimmt, dass eine Zufallsvariable einen bestimmten Wert oder einen kleineren Wert annimmt. Die Verteilungsfunktion ist wie eine Tabelle dargestellt, in der in der ersten Spalte alle möglichen Werte einer Zufallsvariablen und in der zweiten Spalte die Wahrscheinlichkeiten dieser Werte aufgeführt sind. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Spalte ist gleich eins.
Die Verteilungsfunktion ermöglicht es Ihnen, verschiedene Aufgaben zu lösen, die mit der Analyse von Zufallsvariablen verbunden sind. Damit können Sie die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ereignisse berechnen, die mathematische Erwartung und Varianz einer Zufallsvariablen bestimmen sowie verschiedene Verteilungen vergleichen und die am besten geeignete auswählen.
Berechnungsbeispiele
Betrachten wir zur Verdeutlichung einige Beispiele für die Berechnung der Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsgröße.
Beispiel 1:
Lassen Sie uns eine Zufallsvariable X haben, die die Werte 1, 2, 3 annimmt, wobei die Wahrscheinlichkeiten jeweils 0.3, 0.4, 0.3 sind.
Dann würde die Zuordnungsfunktion von F(x) wie folgt aussehen:
- F(1) = P(X ≤ 1) = 0.3 (da die Wahrscheinlichkeit, einen Wert kleiner oder gleich 1 zu erhalten, 0.3 ist)
- F(2) = P(X ≤ 2) = 0.3 + 0.4 = 0.7 ( da die Wahrscheinlichkeit, einen Wert kleiner oder gleich 2 zu erhalten, gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten ist, die Werte 1 und 2 zu erhalten)
- F(3) = P(X ≤ 3) = 0.3 + 0.4 + 0.3 = 1 (da die Wahrscheinlichkeit, einen Wert kleiner oder gleich 3 zu erhalten, gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten ist, die Werte 1, 2 und 3 zu erhalten, die 1 ist)
Daher würde die Zuordnungsfunktion für dieses Beispiel wie folgt aussehen:
- F(1) = 0.3
- F(2) = 0.7
- F(3) = 1
Beispiel 2:
Lassen Sie uns eine Zufallsvariable Y haben, die Werte von 0, 1, 2 mit Wahrscheinlichkeiten von 0.2, 0.5, 0.3 annimmt.
Dann würde die Zuordnungsfunktion von F(y) wie folgt aussehen:
- F(0) = P(Y ≤ 0) = 0 (da die Wahrscheinlichkeit, einen Wert kleiner oder gleich 0 zu erhalten, 0 ist)
- F(1) = P(Y ≤ 1) = 0.2 (da die Wahrscheinlichkeit, einen Wert kleiner oder gleich 1 zu erhalten, 0.2 ist)
- F(2) = P(Y ≤ 2) = 0.2 + 0.5 = 0.7 ( da die Wahrscheinlichkeit, einen Wert kleiner oder gleich 2 zu erhalten, gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten ist, die Werte 1 und 2 zu erhalten)
Daher würde die Zuordnungsfunktion für dieses Beispiel wie folgt aussehen:
- F(0) = 0
- F(1) = 0.2
- F(2) = 0,7
