Die euklidische Geometrie ist eines der grundlegenden geometrischen Systeme, die von dem griechischen Wissenschaftler Euklid um 300 v. Chr. entwickelt wurden. Eine wichtige Aufgabe in der euklidischen Geometrie ist es, den Schnittpunkt der Dreiecksbissektris zu finden. Bisektrisen sind gerade Linien, die die Winkel eines Dreiecks in zwei gleiche Teile teilen. Der Schnittpunkt des Bisektrises wird als der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises und hat eine Reihe wichtiger Eigenschaften.
Sie können eine der folgenden Methoden verwenden, um den Schnittpunkt des Dreiecks zu finden. Der erste basiert auf einer Eigenschaft, die besagt, dass sich alle Bisektriken eines Dreiecks an einem Punkt schneiden, der als Mittelpunkt eines eingeschriebenen Kreises in der Nähe eines Dreiecks bezeichnet wird. Um diesen Punkt zu finden, können Sie zwei Bisektrisen durch die beiden Ecken des Dreiecks ziehen und diese kreuzen. Der resultierende Punkt gibt den Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises an, der in der Nähe des Dreiecks beschrieben wird.
Eine andere Methode besteht darin, mit dem beschriebenen Dreieck einen Kreis in der Nähe des Dreiecks zu zeichnen. Dann werden von den Punkten, an denen sie den Kreis schneiden, zwei senkrechte Linien zu den Seiten des Dreiecks gezogen. Der Punkt, an dem sich diese Senkrechten kreuzen, ist der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises. Diese Methode basiert auf der Tatsache, dass die Bisektrisen senkrecht zu den Radien des Kreises sind.
Definition der Dreiecksbissektrix
In einem Dreieck hat jede Ecke ihre eigene Bisektrix. Der Schnittpunkt des Bissektris ist der Schnittpunkt aller Bissektris eines Dreiecks, der einen Kreis bildet, der als Bissektris-Kreis bezeichnet wird.
Die Dreiecksbissekturen spielen eine wichtige Rolle bei verschiedenen Geometrieproblemen. Sie können verwendet werden, um Schnittpunkte zu finden, innere und äußere Ecken zu zeichnen und den Mittelpunkt eines Kreises zu bestimmen, der in ein Dreieck eingeschrieben ist.
Eigenschaften des Dreiecksbissektris
Hier sind einige der Eigenschaften des Dreiecksbissektris:
- Die Bisektrisen des Dreiecks schneiden sich an einem Punkt, der als Mittelpunkt aller Bisektrien bezeichnet wird.
- Der Mittelpunkt aller Dreiecksstückchen liegt innerhalb des Dreiecks.
- Die Mitte aller Dreiecksstückchen ist von den Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt.
- Der Mittelpunkt des Dreiecks ist der Abstand zwischen dem Eckpunkt des Winkels und der gegenüberliegenden Seite des Dreiecks in einer Beziehung, die dem Verhältnis der Längen der anderen beiden Seiten des Dreiecks entspricht.
- Wenn jede Bisektrix bis zur Kreuzung mit der gegenüberliegenden Seite verlängert wird, teilen sie diese Seite in Segmente, die proportional zu den Segmenten der anderen beiden Seiten des Dreiecks sind.
Diese Eigenschaften helfen uns, die geometrischen Eigenschaften und Beziehungen in einem Dreieck zu verstehen und sie bei der Lösung von Problemen und beim Konstruieren verschiedener Formen anzuwenden.
Finden des Schnittpunkts des Dreiecksbissektris
Führen Sie die folgenden Schritte aus, um den Schnittpunkt des Dreiecks zu finden:
- Halten Sie die Bisektrise jeder Ecke des Dreiecks. Eine Bissektrix ist eine Linie, die einen Winkel in zwei Hälften teilt und senkrecht zur Seite steht, die diesem Winkel entgegen steht.
- Finde den Schnittpunkt von zwei Bisektrisen. Dazu können Sie die folgende Methode verwenden:
| 1. | Durch die Spitze des Dreiecks eine gerade parallel zur gegenüberliegenden Seite halten. |
| 2. | Durch den anderen Scheitelpunkt eine gerade Linie parallel zur dritten Seite des Dreiecks ziehen. |
| 3. | Sucht den Schnittpunkt der Daten von zwei parallelen Geraden. Dieser Punkt ist der Schnittpunkt des Dreiecksbissektriums. |
Wenn Sie also den Schnittpunkt des Dreiecks finden, erhalten Sie den Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises. Dieser Punkt ist von besonderer Bedeutung und kann bei der Lösung verschiedener geometrischer Probleme verwendet werden.
Anwenden eines gefundenen Schnittpunkts
Wenn wir den Schnittpunkt des Dreiecksstückes finden, kann er bei der Lösung verschiedener Probleme und Probleme hilfreich sein. Es gibt mehrere Möglichkeiten, diesen Punkt anzuwenden:
1. Definiert den Mittelpunkt eines Kreises, der in ein Dreieck eingetragen ist: Der Schnittpunkt des Dreiecks ist der Mittelpunkt des Kreises, der durch die Eckpunkte des Dreiecks verläuft und seine Seiten berührt. Mit dem gefundenen Punkt können Sie den Mittelpunkt eines eingeschriebenen Kreises definieren, was bei der Lösung von Geometrieproblemen nützlich sein kann.
2. Definieren des Bezugspunkts beim Erstellen eines Median-Dreiecks: Die Mediane des Dreiecks verlaufen ebenfalls durch den Schnittpunkt des Bisektrises. Mithilfe des gefundenen Punktes können Sie beim Erstellen von Medianen einen Bezugspunkt definieren, um die Probleme im Zusammenhang mit den Medianen eines Dreiecks zu lösen.
3. Lösung von Problemen mit den Eigenschaften von Bisektris: Der Schnittpunkt des Bisektrises hat Eigenschaften, die für verschiedene Aufgaben nützlich sein können. Sie können beispielsweise die Eigenschaften eines Dreiecks verwenden, um die Winkel eines Dreiecks zu bestimmen, die Höhe eines Dreiecks zu ermitteln oder Probleme mit der Ähnlichkeit von Dreiecken zu lösen.
4. Beweis für geometrische Theoreme: Der Schnittpunkt des Bisektrises kann verwendet werden, um verschiedene geometrische Theoreme zu beweisen. Zum Beispiel kann man damit den Satz über die Gleichheit zweier Winkel, ihre gegenseitige Größe oder die Ungleichheit von Dreiecken nachweisen.
Beispiele für die Berechnung des Bisektriskreuzpunkts
Betrachten wir einige Beispiele für die Berechnung des Schnittpunkts der Dreiecksbissektris:
- Beispiel 1: Das Dreieck ABC ist mit den Seiten AB = 5 cm, AC = 4 cm und BC = 6 cm angegeben. Wir finden den Schnittpunkt des Bisektrises. 1. Wir finden den Halbwert des Dreiecks: p = (AB + AC + BC) / 2 = (5 + 4 + 6) / 2 = 7,5 siehe 2. Wir finden die Fläche des Dreiecks nach der Geron-Formel: S = √ (p (p - AB) (p - AC) (p - BC)) = √(7,5(7,5 - 5)(7,5 - 4)(7,5 - 6)) ≈ 6,47 cm2. 3. Wir finden die Länge des Dreiecksbissektriums mit der Formel: Vs = 2√ (AB * AC * p (p - BC)) / (AB + AC) = 2√(5 * 4 * 7,5 (7,5 - 6)) / (5 + 4) ≈ 3,59 siehe 4. Wir finden die Höhe des Dreiecks, das auf die Bisektrix gesenkt ist. 4.1 Wir berechnen S / BC = 6,47 / 6 ≈ 1,08 cm. 4.2 Berechnen wir die Fläche des Dreiecks, das von den Seiten AB, AC und der Höhe gebildet wird, die um die Bisektrix abgesenkt wird: Sh = √(p(p - AB)(p - AC)(p - AH)) = √(7,5(7,5 - 5)(7,5 - 4)(7,5 - AH)). 4.3 Wir ersetzen die bekannten Werte: 6,47 / 6 = √(7,5(7,5 - 5)(7,5 - 4)(7,5 - AH)). 4.4 Wir lösen die Gleichung für AH: 1,08 = √(7,5(7,5 - 5)(7,5 - 4)(7,5 - AH)). 4.5 Quadrieren wir beide Teile der Gleichung: (1,08)2 = 7,5(7,5 - 5)(7,5 - 4)(7,5 - AH). 4.6 Wir erhalten eine quadratische Gleichung: 1,1664 = 7,5 * 2,5 * 3,5 * (7,5 - AH). 4.7 Wir lösen die Gleichung: AH ≈ 1,16 cm. Jetzt finden wir den Schnittpunkt des Bissektris mit Hilfe der Formel: x = (AB * cos (β / 2) + AC * cos (γ / 2)) / (cos (β / 2) + cos (γ / 2)) und y = (AB * sin (β / 2) + AC * sin (γ / 2)) / (sin (β / 2) + sin (γ / 2)), wobei β und γ die Winkel an den Basen des Bissektris sind. 5.1 Wir berechnen die Winkel β und γ nach der Formel: β = acos((AC2 + BC2 - AB2) / (2 * AC * BC)) und γ = acos((AB2 + BC2 - AC2) / (2 * AB * BC)). 5.2 Wir ersetzen die bekannten Werte: β ≈ 52,99 ° und γ 43 43,13 °. 5.3 Setzen Sie bekannte Werte in die Formel für x ein: x = (5 * cos(52,99° / 2) + 4 * cos(43,13° / 2)) / (cos(52,99° / 2) + cos(43,13° / 2)) ≈ 3,08 cm. 5.4 Setzen Sie bekannte Werte in die Formel für y ein: y = (5 * sin(52,99° / 2) + 4 * sin(43,13° / 2)) / (sin(52,99° / 2) + sin(43,13° / 2)) / (sin(52,99° / 2) + sin(43,13° / 2)) / (sin(52,99° / 2) + sin(43,13° / 2)) / (sin(52,99° / 2) + sin(43,13° / 2)) / (sin(52,99° / 2) + sin(43,13° / 2)) / (sin(52,99° / 2) + sin(43,13° / 2)) / 2)) ≈ 1,94 cm.5 Wir erhalten den Schnittpunkt des Bisektris: (3,08 cm, 1,94 cm).
- Beispiel 2: Das Dreieck XYZ ist mit den Seiten XY = 8 cm, XZ = 10 cm und YZ = 6 cm angegeben. Wir finden den Schnittpunkt des Bisektrises. 1. Wir finden den Halbwert des Dreiecks: p = (XY + XZ + YZ) / 2 = (8 + 10 + 6) / 2 = 12 siehe 2. Wir finden die Fläche des Dreiecks nach der Geron-Formel: S = √(p(p - XY)(p - XZ)(p - YZ)) = √(12(12 - 8)(12 - 10)(12 - 6)) ≈ 23,83 cm2. 3. Wir finden die Länge der Dreiecksbissektüre mit der Formel: Vs = 2√ (XY * XZ * p (p - YZ)) / (XY + XZ) = 2√(8 * 10 * 12 (12 - 6)) / (8 + 10) ≈ 8,97 siehe 4. Wir finden die Höhe des Dreiecks, das auf die Bisektrix gesenkt ist. 4.1 Wir berechnen S / YZ = 23,83 / 6 ≈ 3,97 cm. 4.2 Berechnen wir die Fläche des Dreiecks, das von den Seiten XY, XZ und der Höhe gebildet wird, die um die Bisektrik gesenkt wird: Sh = √(p(p - XY)(p - XZ)(p - HZ)) = √(12(12 - 8)(12 - 10)(12 - "Das ist eine gute Sache", sagt er. 4.3 Wir ersetzen die bekannten Werte: 3,97 = √(12(12 - 8)(12 - 10)(12 - "Das ist eine gute Sache", sagt er. 4.4 Lösen Sie die Gleichung für HZ: √(12 * 4 * 6 * (12 - HZ)) = 3,97. 4.5 Quadrieren wir beide Teile der Gleichung: 12 * 4 * 6 * (12 - HZ) = (3,97)2 ≈ 15,77. 4.6 Wir erhalten eine quadratische Gleichung: 12 * 4 * 6 * (12 - HZ) = 15,77. 4.7 Wir lösen die Gleichung: HZ ≈ 7,75 cm. Jetzt finden wir den Schnittpunkt des Bissektris mit Hilfe der Formel: x = (XY * cos (β / 2) + XZ * cos (γ / 2)) / (cos (β / 2) + cos (γ / 2)) und y = (XY * sin (β / 2) + XZ * sin (γ / 2)) / (sin (β / 2) + sin (γ / 2)), wobei β und γ die Winkel an den Basen des Bissektris sind. 5.1 Wir berechnen die Winkel β und γ nach der Formel: β = acos((XZ2 + YZ2 - XY2) / (2 * XZ * YZ)) und γ = acos((XY2 + YZ2 - XZ2) / (2 * XY * YZ)). 5.2 Wir ersetzen die bekannten Werte: β ≈ 27,61 ° und γ 82 82,43 °. 5.3 Setzen Sie bekannte Werte in die Formel für x ein: x = (8 * cos(27,61° / 2) + 10 * cos(82,43° / 2)) / (cos(27,61° / 2) + cos(82,43° / 2)) ≈ 9,44 cm. 5.4 Setzen Sie bekannte Werte in die Formel für y ein: y = (8 * sin(27,61° / 2) + 10 * sin(82,43° / 2)) / (sin(27,61° / 2) + sin(82,43° / 2)) / (sin(27,61° / 2) + sin(82,43 ° / 2)) / (sin(27,61° / 2) + sin(82,43° / 2)) / (sin(27,61° / 2) + sin(82,43° / 2)) / (sin(27,61° / 2) + sin(82,43° / 2)) / (sin(27,61° / 2) + sin(82,43 ° / 2)) ≈ 1,75 cm.5 Wir erhalten den Schnittpunkt des Bisektris: (9,44 cm, 1,75 cm).
- Beispiel 3: Das Dreieck PQR ist mit den Seiten PQ = 7 cm, PR = 9 cm und QR = 5 cm angegeben. Wir finden den Schnittpunkt des Bisektrises. 1. Wir finden den Halbwert des Dreiecks: p = (PQ + PR + QR) / 2 = (7 + 9 + 5) / 2 = 10,5 siehe 2. Wir finden die Fläche des Dreiecks nach der Geron-Formel: S = √(p(p - PQ)(p - PR)(p - QR)) = √(10,5(10,5 - 7)(10,5 - 9)(10,5 - 5)) ≈ 14,7 cm2. 3. Wir finden die Länge der Dreiecksbissektüre mit der Formel: Vs = 2 √ (PQ * PR * p (p - QR)) / (PQ + PR) = 2√(7 * 9 * 10,5 (10,5 - 5)) / (7 + 9) ≈ 5,54 siehe 4. Wir finden die Höhe des Dreiecks, das auf die Bisektrix gesenkt ist. 4.1 Wir berechnen S / QR = 14,7 / 5 ≈ 2,94 cm.2 Berechnen wir die Fläche des Dreiecks, das von den Seiten PQ, PR und der Höhe gebildet wird, die auf die Bisektrix gesenkt wird: Sh = √ (p(p - PQ)(p - PR)(p - HR)) = √(10,5(10,5 - 7)(10,5 - 9)(10,5 - HR)). 4.3 Wir ersetzen die bekannten Werte: 2,94 = √(10,5(10,5 - 7)(10,5 - 9)(10,5 - HR)). 4.4 Wir lösen die Gleichung für HR: √(10,5 * 3 * 1,5 * (10,5 - HR)) = 2,94. 4.5 Quadrieren wir beide Teile der Gleichung: 10,5 * 3 * 1,5 * (10,5 - HR) = (2,94)2 ≈ 2,87. 4.6 Wir erhalten eine quadratische Gleichung: 10,5 * 3 * 1,5 * (10,5 - HR) = 2,87. 4.7 Wir lösen die Gleichung: HR ≈ 6,47 cm. Jetzt finden wir den Schnittpunkt des Bissektris mit Hilfe der Formel: x = (PQ * cos (β / 2) + PR * cos (γ / 2)) / (cos (β / 2) + cos (γ / 2)) und y = (PQ * sin (β / 2) + PR * sin (γ / 2)) / (sin (β / 2) + sin (γ / 2)), wobei β und γ die Winkel an den Basen des Bissektris sind. 5.1 Wir berechnen die Winkel β und γ nach der Formel: β = acos((PR2 + QR2 - PQ2) / (2 * PR * QR)) und γ = acos((PQ2 + QR2 - PR2) / (2 * PQ * QR)). 5.2 Wir ersetzen die bekannten Werte: β ≈ 119,48 ° und γ 70 70,92 °. 5.3 Setzen Sie bekannte Werte in die Formel für x ein: x = (7 * cos(119,48° / 2) + 9 * cos(70,92° / 2)) / (cos(119,48° / 2) + cos(70,92° / 2)) ≈ 8,47 cm. 5.4 Setzen Sie bekannte Werte in die Formel für y: y ein: y: x = (7 * cos(119,48° / 2)) / (cos(119,48° / 2) + cos(70,92° / 2)) ≈ 8,47 cm.
