Die Periode einer Funktion ist eine der wichtigsten Eigenschaften, die bestimmt, wie sich eine Funktion während ihres gesamten Zeitplans verhält. Das Finden des Zeitraums einer Funktion kann bei der Lösung verschiedener mathematischer Probleme und bei der Bestimmung ihrer Merkmale nützlich sein. In diesem Artikel werden wir uns die einfachen Schritte und Beispiele für die Berechnung des Funktionszeitraums ansehen.
Zunächst müssen Sie verstehen, was die Funktionsperiode ist. Eine Funktionsperiode ist eine Strecke oder ein Intervall, in der eine Funktion den gleichen Wert hat und ihr Verhalten wiederholt. Mit anderen Worten, wenn wir zwei beliebige Punkte im Funktionsdiagramm nehmen, die sich in einer Entfernung befinden, die der Periode entspricht, sind die Funktionswerte an diesen Punkten ebenfalls gleich.
Um den Zeitraum einer Funktion zu finden, müssen Sie dessen Diagramm analysieren. Wenn das Funktionsdiagramm in bestimmten Abständen wiederholt wird, ist die Länge dieses Zeitraums die Periode der Funktion. Sie können den Zeitraum einer Funktion als Linie darstellen [a, b] wobei a und b die Argumentwerte sind, bei denen die Funktion ihr Verhalten wiederholt.
Definieren des Funktionszeitraums
für alle Werte x, für die eine Funktion definiert ist f.
Mathematisch kann dies wie folgt geschrieben werden:
wo t - eine beliebige Zahl.
Das heißt, wenn beim Hinzufügen T an das Funktionsargument ändert sich das Ergebnis nicht, dann T ist eine Funktionsperiode.
Die Periode einer Funktion kann als Zahl oder als Unendlichkeit ausgedrückt werden. Unendlich bedeutet, dass die Funktion keine Periode hat und sich unbegrenzt wiederholt.
Schritt 1: Finden Sie das größte und kleinste Argument der Funktion
Um das größte und kleinste Argument einer Funktion zu finden, wenden Sie sich an die Grafik der Funktion oder ihre analytische Darstellung. Wenn wir ein Funktionsdiagramm haben, können wir nach Extrema suchen - den Punkten im Diagramm, an denen die Funktion den größten oder niedrigsten Wert erreicht. Wenn wir eine analytische Darstellung einer Funktion haben, können wir Extrema finden, indem wir die abgeleitete Funktion finden und ihre Wurzeln finden.
Wenn wir das größte und kleinste Funktionsargument finden, können wir sie verwenden, um die erste Annäherung an die Periode der Funktion zu bestimmen. Die Funktionsperiode ist das minimale Intervall, in dem die Funktion ihre Werte wiederholt. Wenn wir wissen, dass eine Funktion an bestimmten Punkten ihre größten und kleinsten Werte erreicht, können wir davon ausgehen, dass die Periode der Funktion gleich der Differenz zwischen diesen Punkten sein kann.
Schritt 2: Berechnen Sie die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Argument
Um den größten und kleinsten Wert eines Arguments zu finden, können Sie die Methode verwenden, um die Funktion zu differenzieren und Extrema zu finden. Um dies zu tun, müssen Sie die Funktion unterscheiden und ihre Ableitung finden. Lösen Sie dann die Gleichung der Ableitung auf Null und bestimmen Sie die Argumentwerte, bei denen die Funktion extreme Werte erreicht.
Wenn die Funktion periodisch ist, stimmen der größte und der kleinste Wert des Arguments mit den Periodengrenzen der Funktion überein. In diesem Fall entspricht die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Argument der Periode der Funktion.
Wenn die Funktion nicht periodisch ist, sollten Sie die Argumentwerte ermitteln, bei denen die Funktion den größten und kleinsten Wert innerhalb des angegebenen Intervalls erreicht. Berechnen Sie ihre Differenz und erhalten Sie die Periode der Funktion.
Die Berechnung der Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Argument wird uns daher helfen, den Zeitraum der Funktion zu bestimmen und weitere Berechnungen durchzuführen.
Beispiele für die Berechnung der Funktionsperiode
Beispiel 1:
Betrachten Sie die Funktion f(x) = sin(x). Um den Zeitraum dieser Funktion zu finden, müssen wir untersuchen, in welchem Intervall die x-Funktion eine vollständige Schleife durchläuft.
Die Sinusfunktion des gesamten Zyklus durchläuft jeden Wert des Arguments von 0 bis 2π (oder von 0 bis 360° in Grad). Also die Periode der Funktion f(x) = sin(x) entspricht 2π oder 360°.
Beispiel 2:
Betrachten Sie die Funktion g(x) = cos(2x). In diesem Fall muss der Faktor vor dem Argument innerhalb der Funktion berücksichtigt werden, um den Zeitraum einer Funktion zu finden. Wir haben 2x. daher müssen wir die Verdoppelung der Periode berücksichtigen.
Da die Sinusfunktion eine vollständige Schleife durch jeden Wert des Arguments von 0 bis 2π (oder 0 bis 360°) durchläuft, wird die Funktion g(x) = cos(2x) jeder Wert des Arguments von 0 bis π (oder von 0 bis 180°) durchläuft eine vollständige Schleife. Also die Periode der Funktion g(x) = cos(2x) ist π oder 180°.
Beispiel 3:
Betrachten Sie die Funktion h(x) = 3sin(4x). Aus diesem Funktionsausdruck kann man sehen, dass wir eine Multiplikation des Funktionsarguments mit 4 und eine Multiplikation der Funktion selbst mit 3 haben. Eine Periode kann mit der Formel für die Funktionsperiode gefunden werden f(x) = sin(bx), wo b - der Koeffizient vor dem Argument innerhalb der Funktion.
Für die Funktion h(x) = 3sin(4x) die Periode entspricht der Periode der Funktion f(x) = sin(x) geteilt durch den Faktor b = 4. Also die Periode der Funktion h(x) = 3sin(4x) gleich 2π/4 oder π/2.
