Die Funktion ist gerade, wenn für jedes Argument $x$ die Gleichheit $f(-x) = f(x)$ gültig ist. Solche Funktionen haben eine besondere Eigenschaft, die darin besteht, dass ihr Graph relativ zur Ordinatachse symmetrisch ist. Wie finde ich jedoch den Beweis, dass die Ableitung einer geraden Funktion ungerade ist?
Um diese Tatsache zu beweisen, betrachten Sie die Ableitung von $f'(x)$ der geraden Funktion $f(x)$. Per Definition ist die Ableitung $f'(x) = \lim_ \frac$. Beachten Sie, dass $f'(-x) = \lim_ \frac$ ist. Mit der Paritätseigenschaft der Funktion $f(-x) = f(x)$ erhalten wir $f'(-x) = \lim_ \frac = f'(x)$. Daher ist die Ableitung einer geraden Funktion ungerade.
Der erhaltene Beweis ist für die Analyse von geraden Funktionen unerlässlich. Es ermöglicht uns, die Informationen über die Ableitung zu verwenden, um das Verhalten einer Funktion sowohl mit der zweiten Ableitung als auch mit einem Diagramm zu untersuchen. Zum Beispiel, wenn die Ableitung einer geraden Funktion im Intervall $ positiv ist[a,b]$, dann wird es auch im Intervall $ positiv sein[-b,-a]$, und daher wird die Funktion im gesamten Intervall von $ zunehmen[-b,b]$. Dies ermöglicht es uns, die Eigenschaften von geraden Funktionen in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik bequemer zu untersuchen.
Ableitung einer geraden Funktion
Um zu beweisen, dass die Ableitung einer geraden Funktion eine ungerade Funktion ist, müssen Sie sich an die Definition der abgeleiteten Funktion erinnern. Die abgeleitete Funktion f(x) wird als Grenze für das Inkrementverhältnis einer Funktion zum Inkrement eines Arguments bezeichnet, wenn das Argument auf Null inkrementiert wird.
Sei f(x) eine gerade Funktion. Beachten Sie, dass für alle Punkte (a, b) auf ihrem Diagramm auch ein symmetrischer Punkt (-a, b) auf dem Funktionsdiagramm liegen wird. Für jedes Inkrement des Arguments h ist es also fair, dass f(x+h) = f(x-h) ist.
Wenn wir die Grenze des Verhältnisses (f(x+h) - f(x-h)) / (2h) nehmen, wenn h auf Null tendiert, erhalten wir die Ableitung der Funktion mit Vorzeichengenauigkeit:
lim[h→0] [(f(x+h) - f(x-h)) /( 2h)] = (f(x) - f(x)) / 0 = 0/0
Da die Grenze einer solchen Beziehung nicht definiert ist, können Sie die Differenzierungsregeln verwenden, um den Wert einer Ableitung zu berechnen. In diesem Fall wissen wir, dass die Funktion gerade ist, also ist f(-x) = f(x).
Wenn wir die Differenzierungsregel für die Funktion f(-x) anwenden, erhalten wir:
f'(-x) = lim[h→0] [(f(-x+h) - f(-x-h)) /( 2h)] = -lim[h→0] [(f(x-h) - f(x+h)) /( 2h)] = -f'(x)
Daher haben wir bewiesen, dass die Ableitung einer geraden Funktion eine ungerade Funktion ist, dh f'(-x) = -f'(x).
Beweis einer abgeleiteten geraden Funktion
Wenn Sie eine abgeleitete Definition haben, können Sie Folgendes schreiben:
| f'(x) = lim(h→0) [(f(x+h) - f(x))/h] |
| f'(-x) = lim(h→0) [(f(-x+h) - f(-x))/h] |
Da f(x) eine gerade Funktion ist, ist f(-x) = f(x). Ersetzen Sie im vorherigen Ausdruck f(-x) durch f(x):
| f'(-x) = lim(h→0) [(f(x+h) - f(x))/h] |
Wir haben einen Ausdruck f'(-x) erhalten, der mit dem Ausdruck f'(x) übereinstimmt, außer für das Argument. Bedeutet, f'(-x) = f'(x), was -f'(-x) = -f'(x) entspricht.
Daher haben wir bewiesen, dass die Ableitung der geraden Funktion f(x) eine ungerade Funktion ist -f'(x). Diese Eigenschaft von geraden Funktionen ermöglicht es, Integrale zu reduzieren und mathematische Berechnungen zu vereinfachen.
Eigenschaften einer abgeleiteten geraden Funktion
| Eigenschaft | Formel | Erklärung |
|---|---|---|
| Symmetrie | f'(-x) = -f'(x) | Der Wert der Ableitung am Punkt -x entspricht dem entgegengesetzten Wert der Ableitung am Punkt x. |
| Ungerade | f'(-x) = f'(x) | Der Wert der Ableitung am Punkt -x ist gleich dem Wert der Ableitung am Punkt x. |
| Nullwert an symmetrischen Punkten | f'(x) = 0, wenn x = 0 ist | Der Wert der Ableitung ist bei x = 0 gleich Null, da die Funktion f(x) gerade ist und die Funktionswerte relativ zur y-Achse symmetrisch sind. |
Ungerade Funktion
Das heißt, wenn Sie eine Funktion nehmen und ihr Argument durch das entgegengesetzte ersetzen und dann das Wertzeichen der Funktion ändern, erhalten Sie das gleiche Ergebnis wie bei der direkten Ersetzung des Arguments.
Der Graph einer ungeraden Funktion ist immer symmetrisch relativ zum Ursprung. Wenn ein Punkt im Diagramm bekannt ist (x, y), dann Punkt (-x, -y) es wird auch zu einem Feature-Zeitplan gehören.
Zum Beispiel eine Funktion y = x^3 ist eine ungerade Funktion. Gleichheit wird für sie ausgeführt f(-x) = -f(x), da (-x)^3 = -x^3. Der Graph dieser Funktion ist symmetrisch relativ zum Ursprung.
Beweis für die ungerade Funktion
Um zu beweisen, dass die Funktion ungerade ist, müssen Sie überprüfen, ob die Bedingung f(x) = -f(-x) für alle x-Werte im Funktionsdefinitionsbereich erfüllt ist.
1. Lassen Sie die Funktion f(x) im Intervall (-∞, ∞) definiert werden.
2. Nehmen wir einen beliebigen Wert von x und einen bekannten Wert von f(x).
3. Berechnen wir den Wert von f(-x).
- Ersetzen Sie -x anstelle von x in den Funktionsausdruck: f (-x).
- Wir berechnen den Wert von f(-x) anhand der Ersetzungsergebnisse.
4. Überprüfen wir, ob die Bedingung f(x) = -f(-x) erfüllt ist.
- Vergleichen wir den Wert von f(x) mit dem berechneten Wert von f(-x).
- Wenn f(x) = -f(-x) ist, ist die Funktion ungerade.
- Wenn f(x) ≠ -f(-x) ist, ist die Funktion nicht ungerade.
5. Kehren wir zu Schritt 2 zurück und wiederholen die Schritte für die anderen x-Werte, bis alle Werte im Funktionsdefinitionsbereich überprüft wurden.
6. Der Beweis ist abgeschlossen.
Daher müssen Sie die Werte von f(x) und f(-x) für alle Werte von x im Funktionsdefinitionsbereich vergleichen, um die ungerade Funktion zu beweisen, und sicherstellen, dass sie umgekehrt proportional zueinander sind.
Eigenschaften einer ungeraden Funktion
Grundlegende Eigenschaften von ungeraden Funktionen:
- Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch relativ zum Ursprung.
- Wenn die Funktion f(x) ungerade ist und auf einer Linie festgelegt ist [a, b], dann ist das Integral von der Funktion f(x) in diesem Segment Null.
- Die Ableitung einer ungeraden Funktion ist eine gerade Funktion.
- Wenn die Funktion f(x) ungerade ist und auf einer Linie kontinuierlich ist [a, b], dann ist das Integral von der Funktion f(x) in diesem Segment Null.
- Die Summe der ungeraden und geraden Funktionen ist eine ungerade Funktion.
Wenn Sie die Eigenschaften von ungeraden Funktionen kennen und anwenden, können Sie verschiedene Aufgaben einfacher lösen und die Arbeit mit Funktionen mit ungeradem Verhalten erleichtern.
