In der Mathematik spielen verschiedene Mengen von Zahlen eine wichtige Rolle, und eine davon ist eine Menge von Zahlen der Form 1 + 2 n , wobei n eine beliebige natürliche Zahl ist.
Um zu beweisen, dass diese Menge eine Zählmenge ist, können wir eine Methode verwenden, die Biektionsbildung zwischen natürlichen Zahlen und dieser Menge genannt wird.
Betrachten wir zunächst zwei Zahlen dieser Menge, zum Beispiel 1 + 2 0 und 1 + 2 1 . Wir erhalten die folgende Folge von Zahlen: 2, 3. Dann fügen wir der Sequenz die Zahl 1 + 2 2 hinzu, dh 5.
Nachweis der Anzahl von Zahlen 1 2n
Um die Zählung einer Menge von Zahlen der Form 1 2n zu beweisen, wobei n zu natürlichen Zahlen gehört, können Sie einen Ansatz verwenden, um eine Biektion zwischen dieser Menge und einer Menge natürlicher Zahlen zu konstruieren.
Betrachten Sie die Funktion f: N -> 1 2n, wobei N für viele natürliche Zahlen steht. Die Funktion f kann wie folgt definiert werden: f(n) = 2n. Somit wird jeder natürlichen Zahl n eine Zahl der Form 1 2n zugeordnet.
Überprüfen wir nun, ob die Funktion f eine Injektion ist. Nehmen wir an, es gibt zwei verschiedene natürliche Zahlen m und n, für die f(m) = f(n) ist. Dann ist 2m = 2n, wobei m = n. Dies bedeutet, dass jeder Zahl von 1 2n nicht mehr als eine natürliche Zahl zugeordnet wird.
So haben wir gezeigt, dass es eine Injektion von vielen natürlichen Zahlen in eine Menge von Zahlen der Art 1 2n gibt. Es stellt sich heraus, dass die Kapazität einer Menge von Zahlen der Form 1 2n mit der Kapazität einer Menge natürlicher Zahlen übereinstimmt und eine Zählung ist.
Definieren einer Zählmenge
Die formale Definition einer Zählmenge lautet wie folgt: die Menge S wird als Zählung bezeichnet, wenn eine Bijektion zwischen einer Menge natürlicher Zahlen N = und einer Menge S besteht.
Mit anderen Worten, jedem Element der Menge S kann eine natürliche Zahl in der Reihenfolge zugewiesen werden, in der jede natürliche Zahl genau einem Element aus S entspricht.
Ein Beispiel für eine Zählmenge ist die Menge aller natürlichen Zahlen, da ihre Elemente wie folgt angeordnet werden können: 1, 2, 3, 4, 5, .
Ein anderes Beispiel ist die Menge aller Ganzzahlen, da seine Elemente wie folgt angeordnet werden können: . -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .
Bei dieser Aufgabe ist eine Menge von Zahlen der Form 1, 2n, wobei n zu einer Menge natürlicher Zahlen gehört, ebenfalls eine Zählung, da jede Zahl der Form 1, 2n entsprechend einer natürlichen Zahl aus einer Menge natürlicher Zahlen zugeordnet werden kann.
Beweis für die Existenz einer Biektomie
Konstruieren wir eine Funktion f, die eine solche Übereinstimmung festlegt:
- Für eine beliebige Zahl n aus einer Menge natürlicher Zahlen ist die Funktion f(n) 2n.
- Für eine beliebige Zahl k aus einer gegebenen Menge ist die Funktion f'(k) k/2.
Daher wird jede natürliche Zahl mit einer Zahl der Art 2n übereinstimmen, und jede natürliche Zahl der Art 2n wird mit einer natürlichen Zahl übereinstimmen. Dies bedeutet, dass eine Menge von Zahlen der Form 1, 2n zählbar ist, da sie eine eindeutige Übereinstimmung mit vielen natürlichen Zahlen aufweist.
