Das Zählen der Anzahl von fünfstelligen Zahlen, die zwei oder mehr Einheiten enthalten, ist eine der Aufgaben der Kombinatorik. Diese Aufgabe kann mit dem Ein- / Ausschlussprinzip gelöst werden.
Wir werden die Zählung Schritt für Schritt durchführen. Von fünfstelligen Zahlen, die nur aus Einheiten bestehen, gibt es nur eine Zahl - 11111. Daher ist die Gesamtfläche dieser Menge 1.
Als nächstes müssen Sie die Anzahl der Zahlen berücksichtigen, in denen nur eine Einheit vorhanden ist. Die Anzahl solcher Zahlen ist $\choose$ * 9 = 45. Hier wählen wir eine "Position" aus, um eine Einheit aus der Gesamtzahl der Positionen zu platzieren (anhand der Kombinationsformel), und dann kann jede der verbleibenden Positionen eine der Ziffern 0 bis 9 enthalten, wobei die Einheit ausgeschlossen ist.
Der nächste Schritt besteht darin, Zahlen zu berücksichtigen, die zwei Einheiten enthalten. Die Anzahl solcher Zahlen ist $\choose$ * 9^3 = 90 * 729 = 65610. Hier wählen wir zwei "Positionen" aus, um Einheiten aus der Gesamtzahl der Positionen zu platzieren (anhand der Kombinationsformel), und die anderen Positionen können alle Ziffern von 0 bis 9 enthalten, wobei die Einheit ausgeschlossen ist.
Danach können Sie Zahlen mit drei Einheiten, vier Einheiten und fünf Einheiten berechnen. Die Anzahl solcher Zahlen wird in ähnlicher Weise definiert und ist gleich $\choose$ * 9^2 = 10 * 81 = 810 für drei Einheiten, $\choose$ * 9 = 5 * 9 = 45 für vier Einheiten und $\choose$ = 1 für fünf Einheiten.
Die Gesamtzahl der fünfstelligen Zahlen, die zwei oder mehr Einheiten enthalten, entspricht also der Summe aller erhaltenen Werte. Nachdem wir alle diese Werte berechnet haben, erhalten wir eine Antwort auf unsere Aufgabe: 65871.
Die allgemeine Formel zum Zählen der Anzahl von fünfstelligen Zahlen mit zwei oder mehr Einheiten
Sie können Kombinatorik verwenden, um die Anzahl von fünfstelligen Zahlen mit zwei oder mehr Einheiten zu berechnen. In der ersten Stelle kann die Zahl eine beliebige Zahl zwischen 1 und 9 sein, mit Ausnahme von Null. Für die anderen vier Ziffern einer Zahl (wir bezeichnen sie als a, b, c, d) können wir eine beliebige Zahl von 0 bis 9 verwenden, da sie sowohl Einheiten als auch alle anderen Ziffern sein können.
Um die Anzahl der Optionen für jede Ziffer zu berechnen, berechnen wir die Anzahl der Kombinationen von 10 Elementen zu 1 Element für die erste Ziffer (da wir 10 mögliche Ziffern haben) und die Anzahl der Kombinationen von 10 Elementen zu 5 Elementen für jede der anderen vier Ziffern (da wir 10 mögliche Ziffern haben und 5 davon auswählen).
Die allgemeine Formel zum Zählen der Anzahl von fünfstelligen Zahlen mit zwei oder mehr Einheiten wäre also:
- Für die erste Stelle: 9 (da Null ausgeschlossen ist)
- Für die zweite, dritte, vierte und fünfte Stelle: C(10, 5) = 252 (Anzahl der Kombinationen von 10 Elementen zu 5 Elementen)
Dann wird die Gesamtzahl der fünfstelligen Zahlen mit zwei oder mehr Einheiten sein:
Es gibt also 2268 fünfstellige Zahlen mit zwei oder mehr Einheiten.
Beispiel für den ersten Schritt zum Zählen von fünfstelligen Zahlen mit zwei oder mehr Einheiten
Um die Anzahl der fünfstelligen Zahlen mit zwei oder mehr Einheiten zu zählen, beginnen wir an der ersten Position der Zahl und definieren alle möglichen Kombinationen für zwei oder mehr Einheiten.
Die erste Position kann eine beliebige Zahl zwischen 1 und 9 haben, da die fünfstellige Zahl nicht bei Null beginnen kann.
Nachdem wir eine Zahl für die erste Position ausgewählt haben, gehen wir zur zweiten Position der Nummer über. Es kann auch eine beliebige Zahl zwischen 0 und 9 geben, da wir nach Zahlen mit zwei oder mehr Einheiten suchen.
Wir setzen diesen Prozess für die verbleibenden drei Positionen der Zahl (die dritte, vierte und fünfte) fort. Es kann auch eine beliebige Ziffer zwischen 0 und 9 geben.
Nachdem wir die Ziffern für alle fünf Positionen einer Zahl ausgewählt haben, prüfen wir, ob die Zahl zwei oder mehr Einheiten enthält. Wenn es enthält, erhöhen wir den Zähler um eins. Wenn es nicht enthält, fahren wir einfach mit unserer Durchforstung fort, bis wir alle Kombinationen für alle Positionen der Zahl durchlaufen haben.
So durchlaufen wir Schritt für Schritt alle Kombinationen von fünfstelligen Zahlen mit zwei oder mehr Einheiten und zählen deren Anzahl.
Das Ergebnis der Zählung von fünfstelligen Zahlen mit zwei oder mehr Einheiten
Fünfstellige Zahlen mit zwei oder mehr Einheiten sind Zahlen zwischen 10010 und 99999, einschließlich. Um ihre Anzahl zu bestimmen, können Sie eine einfache Berechnung der Differenz zwischen den maximalen und minimalen Zahlen verwenden.
Die Mindestzahl wird 10010 sein, da sie zwei Einheiten hat. Das Maximum wird 99999 sein - die Zahl mit dem größten Wert von fünf Ziffern.
Berechnen wir die Differenz zwischen den maximalen und minimalen Zahlen:
99999 - 10010 = 89989
Daher ist die Anzahl der fünfstelligen Zahlen mit zwei oder mehr Einheiten 89.989.
Diese Zahl kann bei bestimmten Aufgaben nützlich sein, z. B. bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass bei zufälliger Auswahl eine fünfstellige Zahl mit zwei oder mehr Einheiten fällt.
Um solche Zahlen zu zählen, müssen die folgenden Bedingungen berücksichtigt werden:
- Die Zahl muss fünf Ziffern haben, daher darf die erste Ziffer nicht Null sein.
- Die zweite Ziffer kann eine beliebige Zahl zwischen 0 und 9 sein.
- Die verbleibenden drei Ziffern können beliebige Zahlen zwischen 0 und 9 sein.
- Damit eine Zahl zwei oder mehr Einheiten enthält, müssen zwei der drei verbleibenden Ziffern Einheiten sein.
Es gibt also 10 Möglichkeiten für die zweite Ziffer und für die dritte, vierte und fünfte Ziffer jeweils 10 Möglichkeiten. Die Gesamtzahl der fünfstelligen Zahlen ist 9 x 10 x 10 x 10 x 10 = 9000.
Sie müssen jedoch Zahlen ausschließen, bei denen alle drei verbleibenden Ziffern Null sind, da sie keine zwei oder mehr Einheiten enthalten. Daher ist die Gesamtzahl der fünfstelligen Zahlen mit zwei oder mehr Einheiten 9000 - 100 = 8900.
