Der mathematische Beweis für die Irrationalität der Wurzel von 2 ist eines der bekanntesten und wichtigsten Ergebnisse auf dem Gebiet der Mathematik. Dieser Beweis wurde zuerst von antiken griechischen Mathematikern vorgeschlagen und dann als Teil der abstrakten Algebra formalisiert.
Die Irrationalität einer Wurzel von 2 bedeutet, dass ihr Wert nicht als Bruch oder Dezimalzahl dargestellt werden kann, und ihr Dezimaleintrag hat keine periodische Struktur. Tatsächlich ist die Wurzel von 2 eine unendliche und nicht periodische Dezimalzahl, die nicht exakt in der endgültigen Form ausgedrückt werden kann.
Die Hauptmethode zum Nachweis der Irrationalität einer Wurzel von 2 ist die Methode des Gegenteils. Angenommen, die Wurzel von 2 ist eine rationale Zahl und kann als Bruch von p/ q dargestellt werden, wobei p und q ganze Zahlen sind, die keine gemeinsamen Multiplikatoren haben. Algebra- und Arithmetikmethoden werden dann verwendet, um zu zeigen, dass dies zu einem Widerspruch führt.
Definition von Irrationalität
Irrationale Zahlen können nicht exakt als Dezimalzahl ausgedrückt werden, sie können jedoch mit jedem Genauigkeitsgrad annähernd dargestellt werden. Zum Beispiel ist die Zahl √2 irrational, da ihre Dezimaleingabe nicht wiederholt oder endet.
Es gibt eine große Anzahl von irrationalen Zahlen wie π, e, φ und anderen. Sie spielen eine wichtige Rolle in Mathematik und Wissenschaften, da sie für verschiedene Aufgaben verwendet werden.
Der Nachweis der Irrationalität einer Zahl kann komplex sein und die Anwendung mathematischer Methoden und Techniken erfordern, wie zum Beispiel der Beweis gegen das Böse, der Beweis mit der Verwendung von Mengen usw.
Irrationale Zahlen haben viele interessante und eigenartige Eigenschaften, und das Studium spielt eine wichtige Rolle in der Mathematik und ihren Anwendungen.
Annahme der Rationalität der Wurzel von 2
In der Mathematik gibt es zwei Arten von Zahlen: rational und irrational. Rationale Zahlen können als Bruch dargestellt werden, dh die Beziehung von zwei ganzen Zahlen. Irrationale Zahlen können wiederum nicht in dieser Form dargestellt werden und haben eine unendliche oder nicht periodische Dezimalzahl.
Die Annahme der Rationalität der Wurzel von 2 ist, dass die Wurzel von 2 als Bruch dargestellt werden kann. Angenommen, die Wurzel von 2 kann als Bruch von p/q dargestellt werden, wobei p und q ganze Zahlen ohne gemeinsame Teiler sind.
Betrachten wir nun die Gleichheit (p/q)^2 = 2. Wenn wir es quadrieren, erhalten wir p ^ 2 / q ^ 2 = 2. Wenn wir beide Teile mit q ^ 2 multiplizieren, erhalten wir p ^ 2 = 2q ^ 2.
Betrachten Sie die linke Seite der Gleichheit p^2 = 2q^2. Wenn p eine gerade Zahl ist, ist p^2 ein Vielfaches von 4, was bedeutet, dass 2q^2 auch ein Vielfaches von 4 ist. Das bedeutet, dass q^2 auch eine gerade Zahl ist. Dies widerspricht unserer Annahme, dass p/q ein nicht reduzierbarer Bruch ist, da p und q keine gemeinsamen Teiler haben sollten.
| rationale Zahlen | irrationale Zahl |
|---|---|
| Beispiele: 1/2, 3/4, -5/6 | Beispiele: Wurzel von 2, pi, e |
| Kann als Bruch dargestellt werden | Kann nicht als Bruch dargestellt werden |
Beweis nach dem Prinzip der Verleugnung
Dann kann die folgende Gleichheit geschrieben werden:
| (√2)² = (a/b)² | (1) |
| 2 = (a/b)² | (2) |
Errichten wir beide Teile der Gleichheit (2) in ein Quadrat:
| 2² = ((a/b)²)² | (3) |
| 4 = (a/b)⁴ | (4) |
Nach den Eigenschaften der Grade können Sie schreiben:
Also wird die Gleichheit (4) in konvertiert:
Multiplizieren wir beide Teile der Gleichheit (6) mit B⁴:
Beachten Sie, dass a⁴ eine gerade Zahl ist, da 4 ein Multiplikator ist. Also ist a auch eine gerade Zahl, und man kann a = 2k schreiben, wobei k eine ganze Zahl ist. Dann wird die Gleichheit (7) die Form annehmen:
| 4b⁴ = (2k)⁴ | (8) |
| 4b⁴ = 16k⁴ | (9) |
Vereinfachen Sie die Gleichheit (9):
Beachten Sie, dass b⁴ eine gerade Zahl ist, da 4 ein Multiplikator ist. Daher ist b auch eine gerade Zahl, und es ist möglich, b = 2m zu schreiben, wobei m eine ganze Zahl ist. Dann wird die Gleichheit (10) die Form annehmen:
| (2m)⁴ = 4k⁴ | (11) |
| 16m⁴ = 4k⁴ | (12) |
Wir teilen beide Teile der Gleichheit (12) durch 4:
Beachten Sie, dass k⁴ eine gerade Zahl ist, da 4 ein Multiplikator ist. Daher ist k auch eine gerade Zahl. Aber das widerspricht unserer Annahme, dass a/b keine gemeinsamen Teiler hat. Daher war die Annahme falsch und die Wurzel von 2 kann nicht als rationale Zahl dargestellt werden. Daher ist die Wurzel von 2 eine irrationale Zahl.
Beweis für Ungleichheit bei Null
Angenommen, diese Ungleichheit ist falsch, dh es gibt eine Zahl, für die die Ungleichheit erfüllt wird:
Nehmen wir auch an, dass x 0 ist:
Dann erhalten wir aus diesen Annahmen:
Da diese Annahme dem Axiom der Arithmetik widerspricht, das besagt, dass Null nicht größer oder kleiner als eine andere Zahl sein kann, ist die Annahme, dass x und 0 gleich sind, falsch.
Beweis für die Ungleichheit eines Bruchs zum anderen
Beachten Sie beim Nachweis der Ungleichheit von zwei Brüchen die folgenden Regeln:
- Wenn der Zähler eines Bruchs mit einer positiven Zahl multipliziert wird und der Nenner mit einer negativen Zahl multipliziert wird, wird der Wert des Bruchs durch den entgegengesetzten Wert geändert.
- Wenn der Zähler und der Nenner eines Bruchs mit derselben positiven Zahl multipliziert werden, ändert sich der Wert des Bruchs nicht.
- Wenn der Zähler und der Nenner eines Bruchs mit einer negativen Zahl multipliziert werden, wird der Wert des Bruchs durch den entgegengesetzten Wert geändert.
- Wenn der Zähler eines Bruchs durch eine positive Zahl geteilt wird und der Nenner durch eine negative Zahl geteilt wird, wird der Wert des Bruchs durch den entgegengesetzten Wert geändert.
- Wenn der Zähler und der Nenner eines Bruchs durch dieselbe positive Zahl geteilt werden, ändert sich der Wert des Bruchs nicht.
- Wenn der Zähler und der Nenner eines Bruchs durch eine negative Zahl geteilt werden, wird der Wert des Bruchs in den entgegengesetzten Wert geändert.
Mit diesen Regeln können Sie die Ungleichheit von zwei Brüchen nachweisen und feststellen, welcher größer oder kleiner ist.
Reduzierbarkeit des Beweises auf Widerspruch
Angenommen, √2 ist eine rationale Zahl und kann als Dezimalzahl dargestellt werden. Dann gibt es ganze Zahlen a und b (b ≠ 0), so dass √2 = a/b.
Indem wir beide Teile der Gleichung quadrieren, erhalten wir 2 = (a / b) 2, was der Gleichung 2b2 = a2 entspricht. Hier verwenden wir die Eigenschaft der Dezimalbrüche, dass ihre Quadrate auch Dezimalbrüche sind.
Aus dieser Gleichung ist ersichtlich, dass a2 eine gerade Zahl sein muss, da sie dem doppelten Produkt einer anderen geraden Zahl (2b2) entspricht. Daher ist a auch eine gerade Zahl und kann als a = 2k dargestellt werden, wobei k eine Ganzzahl ist.
Wenn wir den Ausdruck a in der Gleichung 2b2 = a2 ändern, erhalten wir (2b) 2 = (2k) 2, was 4b2 = 4k2 entspricht. Wenn wir diese Gleichung vereinfachen, erhalten wir b2 = 2k2, was bedeutet, dass b2 auch eine gerade Zahl sein muss.
Daher müssen sowohl a als auch b gerade Zahlen sein. Dies widerspricht der Annahme, dass a und b zueinander einfache Ganzzahlen sind, da sie einen gemeinsamen Teiler von 2 haben. Der Widerspruch beweist, dass unsere ursprüngliche Annahme von √2 falsch ist und daher √2 eine irrationale Zahl ist.
