Telefonnummern sind ein wesentlicher Bestandteil unserer täglichen Kommunikation. Aber sie sind nicht nur eine Reihe von Zahlen, sondern haben ihre eigene Struktur und bestimmte Regeln. Eine dieser Regeln ist das Fehlen von sich wiederholenden Zahlen in siebenstelligen Zahlen. Betrachten wir, wie viele verschiedene Kombinationen von siebenstelligen Zahlen ohne sich wiederholende Ziffern existieren.
Jede Telefonnummer besteht aus sieben Ziffern, wobei jede Ziffer einen Wert zwischen 0 und 9 annehmen kann. Die Beschränkung auf sich wiederholende Ziffern bedeutet, dass jede der sieben Ziffern in der Nummer eindeutig sein muss. Daher haben wir 10 mögliche Optionen für die erste Ziffer, 9 mögliche Optionen für die zweite Ziffer (da wir eine Ziffer ausgeschlossen haben, die bereits für die erste Position ausgewählt wurde) und so weiter.
Um die Gesamtzahl der verschiedenen Kombinationen von siebenstelligen Zahlen ohne sich wiederholende Zahlen zu finden, können wir das Multiplikationsprinzip verwenden. Multiplizieren Sie die Anzahl der möglichen Optionen für jede Position im Raum (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4) und wir erhalten die Gesamtzahl der verschiedenen siebenstelligen Zahlen ohne doppelte Ziffern.
Anzahl vorhandener siebenstelliger Telefonnummern ohne doppelte Ziffern
Siebenstellige Telefonnummern bestehen aus sieben Ziffern, und jede dieser Ziffern muss eindeutig sein, damit es keine doppelten Ziffern gibt. Betrachten wir, wie viele solche Zahlen insgesamt existieren.
Die erste Ziffer in der Nummer kann eine von zehn möglichen Zahlen sein (von 0 bis 9). Nach der Auswahl der ersten Ziffer stehen neun Optionen zur Auswahl der zweiten Ziffer zur Verfügung (da die Wiederholung der ersten Ziffer verboten ist). Im Falle der zweiten Ziffer gibt es acht Optionen (da die Wiederholung der ersten und zweiten Ziffer verboten ist) und so weiter.
Daher kann die Gesamtzahl der siebenstelligen Telefonnummern ohne doppelte Ziffern als das Produkt der Anzahl der Varianten für jede der sieben Ziffern berechnet werden:
- Für die erste Ziffer - 10 Optionen
- Für die zweite Ziffer - 9 Optionen
- Für die dritte Ziffer - 8 Optionen
- Für die vierte Ziffer - 7 Optionen
- Für die fünfte Ziffer - 6 Optionen
- Für die sechste Ziffer - 5 Optionen
- Für die siebte Ziffer gibt es 4 Optionen
Daher ist die Gesamtzahl der siebenstelligen Telefonnummern ohne doppelte Ziffern gleich:
- 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 = 604 800
Daher beträgt die Anzahl der vorhandenen siebenstelligen Telefonnummern ohne doppelte Ziffern 604.800.
Die allgemeine Formel zur Bestimmung der Menge
Sie können eine Kombinatorik und eine einfache mathematische Formel verwenden, um die Anzahl der siebenstelligen Telefonnummern ohne doppelte Ziffern zu bestimmen.
In diesem Fall haben wir 10 Ziffern (von 0 bis 9), und wir müssen 7 davon auswählen, um die Nummer zu erstellen. Wir haben es also mit Kombinationen ohne Wiederholungen zu tun.
Die allgemeine Formel zur Bestimmung der Anzahl der Kombinationen ohne Wiederholungen lautet wie folgt:
- Cn k - anzahl der Kombinationen ohne Wiederholungen von n ausgewählte Elemente k Elemente;
- Pn k - anzahl der Permutationen ohne Wiederholungen von n ausgewählte Elemente k Elemente;
- k! - faktorzahl k.
Wenn wir diese Formel auf die Aufgabe von siebenstelligen Telefonnummern ohne doppelte Ziffern anwenden, können wir die Anzahl der möglichen Kombinationen wie folgt berechnen:
Wenn wir diesen Ausdruck berechnen, erhalten wir die Gesamtzahl der siebenstelligen Telefonnummern ohne doppelte Ziffern.
Berücksichtigung der Merkmale der ersten Ziffer
Wenn Sie die Anzahl der verschiedenen Telefonnummern im siebenstelligen Bereich ohne doppelte Ziffern berechnen, müssen Sie die Besonderheiten der ersten Ziffer berücksichtigen.
Die erste Ziffer kann eine von neun möglichen Zahlen sein: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Null ist als erste Ziffer nicht zulässig, da diese Aufgabenbedingung eine siebenstellige Zahl ohne doppelte Ziffern ist.
Um die verschiedenen Varianten der ersten Ziffer zu berücksichtigen, müssen Sie daher die Gesamtzahl der verschiedenen Zahlen ohne Berücksichtigung der ersten Ziffer mit der Anzahl der möglichen Werte der ersten Ziffer multiplizieren.
Bei siebenstelligen Zahlen ohne doppelte Ziffern entspricht die Gesamtzahl der Varianten einer geordneten Platzierung von 7 von 10 möglichen Ziffern. Das heißt: C(10, 7) = 10! / (7!(10-7)!) = 10! / (7!3!) = (10 * 9 * 8) / (3 * 2) = 120.
Daher beträgt die Gesamtzahl der verschiedenen Telefonnummern im siebenstelligen Bereich ohne doppelte Ziffern 120 * 9 = 1080.
Die Berücksichtigung der Merkmale der ersten Ziffer ermöglicht somit eine genaue Anzahl verschiedener siebenstelliger Telefonnummern ohne sich wiederholende Ziffern.
Berechnung der Menge für jede erste Ziffer
Um die Anzahl der siebenstelligen Telefonnummern ohne doppelte Ziffern zu berechnen, müssen Sie alle möglichen Kombinationen der ersten Ziffern berücksichtigen. Die Anzahl der Kombinationen hängt davon ab, ob Null als erste Ziffer der Zahl verwendet werden kann.
Wenn Null als erste Ziffer einer Zahl verwendet werden kann, ist die Anzahl der Kombinationen gleich 9 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 = 326,592. Hier hat jede erste Ziffer 9 Varianten (0-9, ohne Null), die zweite Ziffer 9 Varianten (0-9), die dritte Ziffer 8 Varianten (0-9, ohne die ersten beiden Ziffern) und so weiter.
Wenn Null nicht als erste Ziffer einer Zahl verwendet werden kann, ist die Anzahl der Kombinationen gleich 9 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 = 136,080. Hier hat die erste Ziffer 9 Optionen (1-9), die zweite Ziffer 9 Optionen (0-9, ohne die erste Ziffer), die dritte Ziffer 8 Optionen (0-9, ohne die ersten beiden Ziffern) und so weiter.
Daher beträgt die Gesamtzahl der siebenstelligen Telefonnummern ohne doppelte Ziffern 326.592, wenn Null als erste Ziffer verwendet werden kann, und 136.080, wenn keine Null verwendet werden kann.
Verteilung der Ziffern für die erste Ziffer von 1 bis 6
Wenn Sie siebenstellige Telefonnummern ohne doppelte Ziffern erstellen, kann die erste Ziffer eine der folgenden sechs Ziffern sein:
Dies bedeutet, dass es sechs Möglichkeiten für die erste Ziffer in einer Telefonnummer gibt. Die Verteilung der Ziffern ist in diesem Fall einheitlich, da jede Ziffer die gleiche Chance hat, die erste Ziffer der Nummer zu sein.
Verteilung der Ziffern für die erste Ziffer 7
Daher ist die Anzahl der möglichen Varianten für die zweite Ziffer 9 (da die Ziffer 7 bereits besetzt ist). Für die dritte Ziffer - 8, für die vierte Ziffer - 7, für die fünfte Ziffer - 6, für die sechste Ziffer - 5 und für die siebte Ziffer - 4. Die Gesamtzahl der siebenstelligen Telefonnummern mit der ersten Ziffer 7 entspricht dem Produkt all dieser Nummern:
9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 = 12096
Es gibt also 12096 verschiedene siebenstellige Telefonnummern, bei denen die erste Ziffer 7 ist und alle anderen Ziffern nicht wiederholt werden.
Das Endergebnis
Ohne doppelte Ziffern gibt es 9 mögliche Ziffern (1-9) für jede Position der siebenstelligen Telefonnummer. Mit der Multiplikationsregel können wir die Gesamtzahl verschiedener Zahlenkombinationen für jede Position bestimmen.
Daher kann die Gesamtzahl der verschiedenen siebenstelligen Telefonnummern ohne doppelte Ziffern anhand der Formel gefunden werden:
9 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 = 326,592
Es gibt also 326.592 verschiedene siebenstellige Telefonnummern ohne doppelte Ziffern.
