Sechsstellige Zahlen sind Zahlen, die aus sechs Ziffern bestehen. Welche Anzahl solcher Zahlen enthält genau drei verschiedene Ziffern? Um dieses Problem zu lösen, müssen wir verschiedene Kombinationen von Zahlen analysieren, die eine sechsstellige Zahl bilden können.
Die erste Ziffer kann eine beliebige Ziffer zwischen 1 und 9 sein, da die führende Ziffer Null nicht sein kann. Die zweite Ziffer kann auch eine beliebige Ziffer zwischen 0 und 9 sein, mit Ausnahme der bereits verwendeten ersten Ziffer. Ebenso für die dritte Ziffer.
Als nächstes haben wir nur noch drei Ziffern, um die vier verbleibenden Positionen auszuwählen. Dies bedeutet, dass wir für jede dieser Positionen eine von drei verschiedenen Ziffern auswählen können. Daher kann die Gesamtzahl der sechsstelligen Zahlen mit drei verschiedenen Ziffern gefunden werden, indem die Anzahl der Optionen für die erste, zweite und dritte Ziffer mit der Anzahl der Optionen für die vier verbleibenden Positionen multipliziert wird.
Aufgabenstellung
Die Aufgabe besteht darin, die Anzahl der sechsstelligen Zahlen zu bestimmen, die genau drei verschiedene Ziffern enthalten. Es ist notwendig, die genaue Zahl zu finden und sie in einem numerischen Wert darzustellen.
Lösungsmethode
Sie können Kombinatorik verwenden, um dieses Problem zu lösen. Betrachten wir die verschiedenen Fälle, in denen drei verschiedene Ziffern in einer sechsstelligen Zahl gefunden werden:
1. Ein Fall, in dem sich die erste Ziffer von den beiden verbleibenden unterscheidet.
Die erste Ziffer kann auf 9 Arten ausgewählt werden (1 bis 9) und die beiden verbleibenden auf 9 Arten (0 bis 9, wobei die erste Ziffer nicht bereits ausgewählt ist). Daher sind in diesem Fall alle möglichen Kombinationen 9 * 9 = 81.
2. Ein Fall, in dem sich die zweite Ziffer von der ersten und dritten Ziffer unterscheidet.
Die erste Ziffer kann auf 9 Arten ausgewählt werden (1 bis 9), die zweite auf 9 Arten (0 bis 9, wobei die erste Ziffer ausgenommen ist) und die dritte auf 8 Arten (0 bis 9, wobei die erste und die zweite Ziffer ausgenommen sind). Daher sind alle möglichen Kombinationen in diesem Fall - 9 * 9 * 8 = 648.
3. Ein Fall, in dem sich die dritte Ziffer von den beiden vorangegangenen unterscheidet.
Die erste Ziffer kann auf 9 Arten ausgewählt werden (1 bis 9), die zweite auf 8 Arten (0 bis 9, wobei die erste Ziffer ausgenommen ist) und die dritte auf 8 Arten (0 bis 9, wobei die erste und die zweite Ziffer ausgenommen sind). Daher sind alle möglichen Kombinationen in diesem Fall - 9 * 8 * 8 = 576.
Die Summe aller möglichen Kombinationen, die die Aufgabenbedingung erfüllen, entspricht der Summe aller Kombinationen aus allen drei Fällen:
81 + 648 + 576 = 1305.
Es gibt also 1305 sechsstellige Zahlen, die genau drei verschiedene Ziffern enthalten.
Berechnen der Anzahl der Zahlen
Sie können Kombinatorik verwenden, um die Anzahl von sechsstelligen Zahlen zu berechnen, die genau drei verschiedene Ziffern enthalten.
Zunächst wird die Anzahl der Optionen für die Auswahl von drei verschiedenen Ziffern aus zehn möglichen ermittelt. Es ist eine Kombination ohne Wiederholungen und kann mit der Formel C berechnet werden10 3 = 10! / (3! * (10-3)!), wo 10! - der Faktor der Zahl 10.
Als nächstes müssen Sie für jede ausgewählte Zahlenkombination berücksichtigen, dass die erste Ziffer nicht Null sein kann. Daher gibt es nur 9 mögliche Optionen für die erste Position.
Für die verbleibenden fünf Positionen sind, ohne die ausgewählten Ziffern zu berücksichtigen, 10 Optionen für jede Position möglich, da die Ziffern wiederholt werden können.
Daher ist die Gesamtzahl der sechsstelligen Zahlen, die genau drei verschiedene Ziffern enthalten, C10 3 * 9 * 10 5 .
Beispiele für Zahlen, die eine Bedingung erfüllen
654321 - Diese Zahl enthält sechs verschiedene Ziffern: 6, 5, 4, 3, 2, 1.
345216 - Diese Zahl enthält sechs verschiedene Ziffern: 3, 4, 5, 2, 1, 6.
214365 - Diese Zahl enthält sechs verschiedene Ziffern: 2, 1, 4, 3, 6, 5.
543216 - Diese Zahl enthält sechs verschiedene Ziffern: 5, 4, 3, 2, 1, 6.
