Lösung des Systems linearer Gleichungen nach Cramer-Formeln in Excel: Detaillierte Erläuterungen und Beispiele

Bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen ist eine der gebräuchlichsten Methoden die Cramer-Methode. Es basiert auf der Verwendung von Formeln, mit denen Sie die Werte unbekannter Systemvariablen finden können. Eine Besonderheit der Methode ist, dass Sie es ermöglicht, eine Systemlösung explizit zu finden, ohne sie in eine spezielle Form zu bringen oder iterative Algorithmen anzuwenden.

Um das System linearer Gleichungen mit der Cramer-Methode zu lösen, müssen Sie die Koeffizientenmatrix des Systems und den Vektor der freien Mitglieder kennen. Dann werden mithilfe von Cramer-Formeln die Werte unbekannter Variablen berechnet. Es ist praktisch, ein Softwaretool wie Excel zu verwenden, um solche Berechnungen durchzuführen.

In Excel können Sie eine Tabelle erstellen, in der die Koeffizientenmatrix des Systems und der Vektor der freien Mitglieder dargestellt werden. Sie können dann spezielle Formeln verwenden, mit denen Sie die Werte unbekannter Variablen berechnen können. Dieser Ansatz ermöglicht es Ihnen, die Lösung des Systems zu automatisieren und eine genaue Antwort zu erhalten.

In diesem Artikel werden wir ausführlich untersuchen, wie Sie Excel verwenden, um das System linearer Gleichungen mit der Cramer-Methode zu lösen. Die Beispiele zeigen Ihnen, wie Sie eine Tabelle mit Koeffizienten und einem Vektor von freien Mitgliedern erstellen und wie Sie Cramer-Formeln verwenden, um eine Antwort zu erhalten. Angesichts der Prävalenz von Excel und der Benutzerfreundlichkeit dieser Methode kann die Beherrschung dieser Fähigkeit bei der Lösung verschiedener Aufgaben aus wissenschaftlicher und angewandter Mathematik hilfreich sein.

Was ist ein lineares Gleichungssystem?

a_x_1 + a_x_2 + \ldots + a_x_n = b_1\\

a_x_1 + a_x_2 + \ldots + a_x_n = b_2\\

a_x_1 + a_x_2 + \ldots + a_x_n = b_m\\

wobei $a_$ die Koeffizienten vor den Unbekannten sind, $x_i$ die unbekannten, $b_i$ die freien Mitglieder sind.

Die Lösung eines linearen Gleichungssystems besteht darin, unbekannte Werte zu finden, bei denen alle Gleichungen des Systems ausgeführt werden.

Normalerweise werden lineare Gleichungssysteme mit verschiedenen Methoden wie der Gauß-Methode, der Gauß-Jordan-Methode, der Kramer-Methode usw. gelöst. Kramer-Formeln basieren auf den Determinanten von Matrizen und ermöglichen es Ihnen, das System linearer Gleichungen zu lösen, indem Sie die Antworten als separate Koeffizienten darstellen.

Wie löse ich das System linearer Gleichungen?

Es gibt verschiedene Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme, von denen eine die Cramer-Methode ist. Es basiert auf der Verwendung von Formeln, mit denen Sie die Werte von Variablen durch die Determinanten von Matrizen ausdrücken können, die aus den Koeffizienten der Systemgleichungen bestehen. Um die Cramer-Methode anzuwenden, ist es notwendig, dass das System zusammenarbeitet und eine einzige Lösung hat.

Schritte zur Lösung des Systems linearer Gleichungen mit der Cramer-Methode:

• Erstellen Sie eine Koeffizientenmatrix des Systems, bei der jede Gleichung durch eine Matrixzeile dargestellt wird.
• Berechnen Sie die Determinante der Koeffizientenmatrix des Systems. Wenn der Determinator Null ist, ist das Gleichungssystem degeneriert und hat keine einzige Lösung.
• Erstellen Sie die Matrizen, die durch Ersetzen der Koeffizientenspalte der Systemgleichungen durch eine Spalte mit freien Mitgliedern erhalten werden.
• Berechnen Sie die Determinanten dieser Matrizen.
• Die Lösung des linearen Gleichungssystems sind die Werte der Variablen, die durch die Formel abgeleitet werden: Jeder Wert der Variablen entspricht dem Verhältnis des Matrixerkenners, der dieser Variablen entspricht, zum Matrixerkennungsmerkmal des Systems.

Die Verwendung von Kramer-Formeln ermöglicht es Ihnen, ein System linearer Gleichungen zu lösen und die Werte von Variablen zu finden. Mit den Excel-Werkzeugen können Sie Berechnungen vereinfachen und ein schnelles und genaues Ergebnis erzielen.

Kramer-Formeln zur Lösung eines linearen Gleichungssystems

Für ein lineares Gleichungssystem mit n unbekannten Arten:

wo ist a_ij - Koeffizienten bei unbekannten, b_i - freie Mitglieder, Kramer-Formeln haben das Aussehen:

1. Wir berechnen den Determinanten der Hauptmatrix D: D = / a₁₁ a₁₂ . a_1n| |a₂₁ a₂₂ . a_2n| |. . . . | |a_n1 a_n2 . a_nn|
2. Berechnen Sie den Determinator der Matrix D_i wobei i die Nummer der unbekannten ist, für die wir nach dem Wert suchen: D_i = |a₁₁ . a_i-1 b₁ a_i+1 . a_1n| |a₂₁ . a_i-1 b₂ a_i+1 . a_2n| |. . . . . | |a_n1 . a_i-1 b_n a_i+1 . a_nn|
3. Berechnen Sie den Wert des unbekannten x_i durch die Formel: x_i = D_i / D

Dieser Vorgang wird für jede unbekannte Systemvariable wiederholt, und als Ergebnis erhalten wir die Werte aller Unbekannten.

Cramer-Formeln ermöglichen es, das System linearer Gleichungen durch Substitution zu lösen, was eine genaue Lösung für den Fall bietet, dass die Determinante der Hauptmatrix D nicht Null ist. Wenn D Null ist, bedeutet dies, dass das System keine Lösungen hat oder unendlich viele Lösungen hat.

Wie wendet man Cramer-Formeln in Excel an?

In Excel können wir Cramer-Formeln verwenden, um ein System linearer Gleichungen mit Hilfe von Matrixoperationsfunktionen wie DET und MMINWERT zu lösen, die in das Programm integriert sind.

Die Schritte zum Anwenden von Cramer-Formeln in Excel sind wie folgt:

1. Wir geben die Koeffizienten des Gleichungssystems in die Zellen des Excel-Arbeitsblatts ein.

2. Erstellen Sie eine Systemkoeffizientenmatrix, indem Sie diese Werte in einen Zellbereich einfügen.

3. Erstellen Sie eine Matrix freier Systemmitglieder, indem Sie diese Werte in einen anderen Zellbereich einfügen.

4. Wir berechnen den Hauptdetektor der Koeffizientenmatrix mithilfe der Excel-Formel "DET".

5. Wir berechnen die Determinanten der Matrizen, die durch Ersetzen jeder Spalte der Koeffizientenmatrix durch eine Matrix freier Mitglieder erhalten werden. Dazu verwenden wir die Formel "DET" und ersetzen die entsprechende Spalte.

6. Wir teilen die Werte der in Schritt 5 erhaltenen Determinanten durch den Wert des primären Determinators aus Schritt 4, um die Werte unbekannter Systemvariablen zu ermitteln.

Als Ergebnis dieser Schritte erhalten wir die Werte unbekannter Variablen des linearen Gleichungssystems mithilfe von Cramer-Formeln in Excel.

Beispiel für die Lösung eines linearen Gleichungssystems in Excel mit Cramer-Formeln

Um das System linearer Gleichungen mit der Cramer-Methode in Excel zu lösen, müssen Sie einige Schritte befolgen:

1. Schreiben Sie das Gleichungssystem in Matrixform auf. Dazu wird eine Tabelle mit Variablen-Koeffizienten und freien Mitgliedern erstellt. Jede Gleichung wird als Tabellenzeile dargestellt.
2. Berechnen Sie die Determinante der Koeffizientenmatrix des Systems. Dazu wird in Excel die DET-Funktion verwendet. Die Determinante wird für eine Matrix berechnet, die aus den Koeffizienten des Systems abgeleitet ist.
3. Berechnen Sie die Determinanten von Matrizen, die aus der Hauptmatrix abgeleitet wurden, indem Sie die Spalten durch die freie Elementspalte ersetzen. Dazu wird die Hauptmatrix kopiert, und die Spalten, die jeder Variablen entsprechen, werden durch eine freie Memberspalte ersetzt.
4. Berechnen Sie die Werte von Variablen, die dem Verhältnis des Matrixerkenners einer Variablen zum primären Matrixerkennungsmerkmal entsprechen. Um dies zu tun, wird jeder Determinator einer variablen Matrix durch den Determinator der Hauptmatrix geteilt. Die Ergebnisse werden in einer separaten Spalte gespeichert.

Verwenden wir ein Beispiel für ein lineares Gleichungssystem:

Führen Sie die angegebenen Schritte nacheinander aus:

Erstellen Sie eine Tabelle in Excel und füllen Sie sie mit Koeffizienten und freien Mitgliedern aus:

Die Lösung des linearen Gleichungssystems ist also x = -1.3636 und y = 0.9091.