Stereographische Projektion ist eine Methode, um eine 3D-Figur auf einer Ebene darzustellen. Diese Projektion wurde ursprünglich in der Geometrie verwendet, um eine Kugel auf einer Ebene darzustellen, aber sie hat ihre Anwendung auch in vielen anderen Bereichen der Wissenschaft und Technologie gefunden. In diesem Handbuch werden wir uns die grundlegenden Formeln für stereographische Projektionen ansehen und Ihnen zeigen, wie Sie sie verwenden.
Lassen Sie uns eine Kugel mit einem Radius von R und einem Mittelpunkt am Ursprung haben (0, 0, 0). Betrachten wir den Punkt auf der Kugel mit den Koordinaten (x, y, z), den wir auf die Ebene projizieren möchten. Der Punkt auf der Ebene, in die dieser Punkt projiziert wird, hat Koordinaten (X, Y). Die Formeln, die wir zur Berechnung von X und Y verwenden, verwenden die folgenden Verhältnisse:
X = 2Rx / (R + z)
Y = 2Ry / (R + z)
Dabei sind X und Y die Koordinaten eines Punktes auf der Ebene und x, y und z die Koordinaten des entsprechenden Punktes auf der Kugel. Beachten Sie, dass der Punkt auf der Kugel, wenn z gleich R ist, zu einem unendlich entfernten Punkt wird und seine Projektion auf der Ebene an einem Punkt (0, 0) liegt.
Mit diesen Formeln können Sie ganz einfach einen Punkt auf einer Ebene berechnen, der einem bestimmten Punkt auf einer Kugel entspricht. Dies kann beispielsweise bei der Darstellung von 3D-Objekten auf einem zweidimensionalen Bildschirm oder bei der Arbeit mit geografischen Koordinaten nützlich sein. Jetzt, da Sie mit den grundlegenden Formeln der stereografischen Projektion vertraut sind, können Sie mit der Verwendung dieser Formeln in Ihren Projekten beginnen.
Grundbegriff
Eine Kugel ist ein geometrischer Körper, der aus allen Punkten besteht, die von der Mitte gleich weit entfernt sind.
Der Äquator ist eine kreisförmige Linie auf der Oberfläche einer Kugel, die sich in gleicher Entfernung von den Polen befindet.
Pole sind die Schnittpunkte der Drehachse einer Kugel mit ihrer Oberfläche. Es gibt zwei Pole - den Nordpol und den Südpol.
Projektion - Zeigt das Objekt auf einer Ebene an.
Der Mittelpunkt der Projektion ist ein Punkt auf der Oberfläche der Kugel, durch den eine gerade Linie verläuft, die diesen Punkt und einen Punkt auf der Projektionsebene verbindet.
Die Projektionsebene ist die Ebene, auf die die Kugel projiziert wird.
Die Äquatorebene ist eine horizontale Ebene, die eine Kugel in zwei obere und untere Hälften teilt.
Eine tangentiale Ebene ist eine Ebene, die eine Kugel an einem Punkt berührt.
Die tangentiale Ebene am Berührungspunkt bildet einen Winkel mit der Äquatorebene, der als Einfallswinkel bezeichnet wird.
Arbeitsprinzip
Die stereographische Projektion basiert auf der Darstellung einer Kugel als Einheitskreis auf der oberen Ebene (X, Y-Ebene). Der Mittelpunkt eines Kreises wird als Ursprung betrachtet.
Um den Punkt P (x, y, z) einer Kugel auf eine Ebene zu projizieren, wird ein Strahl verwendet, der den Mittelpunkt der Kugel mit dem Punkt P verbindet. Dieser Strahl schneidet die Ebene am Punkt P' (x', y'). Auf diese Weise wird jedem Punkt einer Kugel ein Punkt auf der Ebene zugeordnet, und jedem Punkt auf der Ebene wird ein Punkt auf der Kugel zugeordnet.
Mit stereographischen Projektionsformeln können Sie die Koordinaten von Punkt P' durch die Koordinaten von Punkt P ausdrücken:
x' = x / (1 - z)
y' = y / (1 - z)
Formeln ermöglichen es Ihnen, die Koordinaten des Punktes P' auf einer Ebene durch die Koordinaten des Punktes P auf einer Kugel eindeutig auszudrücken. Dies ermöglicht die Verwendung einer stereografischen Projektion, um die Formen von 3D-Objekten auf einer Ebene anzuzeigen und ihre Eigenschaften zu analysieren.
